4. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины пол­ностью ее характеризует. Однако часто закон распределе­ния неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик отно­сятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение 6.5. Математическим ожиданием дискрет­ной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Оно оп­ределяет среднее ожидаемое значение дискретной случай­ной величины.

Если дискретная случайная величина X задана рядом распределения и принимает значения х₁, х₂,.., х_п с соответ­ствующими вероятностями р₁,р₂,…р_п, то математическое ожидание вычисляется по формуле:

(6.12)

Математическое ожидание дискретной случайной вели­чины обладает свойствами, которые вытекают из его опре­деления.

1. Математическое ожидание постоянной величины С есть постоянная величина

M(C) = С, где С = const.

2. Математическое ожидание дискретной случайной ве­личины X, умноженной на постоянную величину С, равно произведению математического ожидания М(Х) на С. То есть постоянный множитель можно выносить за знак суммиро­вания.

М(С∙ X) = С ∙ М(Х).

3. Математическое ожидание суммы дискретных слу­чайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий.

М(Х + Y) = М(Х) + M(Y), для любых Хи Y.

4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин Х и Y равно произведению их математических ожиданий.

М(Х∙ Y) = М(Х)∙ M(Y), если Х и Yнезависимы.

Иногда математическое ожидание плохо характеризует случайную величину. Это происходит в тех случаях, когда значения случайной величины значительно отклоняются от среднего ожидаемого. Для того чтобы оценить, как рассея­ны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются числовой характе­ристикой, которую называют дисперсией.

Определение 6.6. Дисперсией дискретной случайной ве­личины называют математическое ожидание квадрата от­клонения случайной величины от ее математического ожи­дания:

D(x) = М [х — М(х)]². (6.13)

Пусть случайная величина X задана законом распреде­ления:

Таблица 6.5

x	x1	x2	…	x n+1	xn
p	p1	p2	…	pn+1	pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон рас­пределения:

Таблица 6.6

[x-M(x)]2	[x1- M(x)]2	[x2 -M(x)]2	…[xn - M(x)]2
p	p1	p2	…pn

По определению, дисперсия равна сумме квадратов от­клонений значений случайной величины от ее математичес­кого ожидания, умноженных на соответствующие вероят­ности этих значений:

D(x) = М[х - М(х)]² = [х₁ - М(х)]² ∙р₁ + [х₂ - М(х)]² ∙р₂ + ... + [х_п - М(х)]² ∙ р_п.

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, доста­точно вычислить сумму произведений возможных значе­ний квадрата отклонения на их вероятности:

D(X) = СУММ((x_i-M(X)) ² p_i. (6.14)

Для вычисления дисперсии иногда бывает удобно пользо­ваться следующей формулой:

D(X) = M(x²)-[M(X)]² (6.15)

Таким образом, дисперсия равна разности между мате­матическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Так как дисперсия характеризует квадрат отклонений значений случайной величины от математического ожида­ния, то для оценки рассеяния возможных значений случай­ной величины вокруг ее среднего значения часто использу­ют среднее квадратическое отклонение.

Определение 6.7. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = (6.16)

Определим некоторые свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величи­ны, которые вытекают из их определений.

1. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение по­стоянной величины С равны нулю.

D(C) = σ(С) = 0, если С = const.

2. Если С — постоянная величина, то справедливы сле­дующие равенства:

D(CX) = C²D(X),

σ(СХ)= σ(X)

3. Для дисперсии и среднего квадратического отклоне­ния суммы независимых дискретных случайных величин X и Y справедливы следующие соотношения:

D(X+ Y) = D(X) + D(Y),

σ(X+Y) =

4. Размерность величин М(Х) и σ(X) совпадает с раз­мерностью самой случайной величины X, а размерность D(X) равна квадрату размерности случайной величины X.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение дискретной случайной величины (ДСВ).

2. Какими способами может задаваться ДСВ? Приведите примеры.

3. Полигон распределения ДСВ

4. Ряд распределения ДСВ

5. Дайте определение функции распределения ДСВ

6. Что представляет собой график функции распределения ДСВ?

7. Дайте определение характеристикам ДСВ.

8. Приведите формулы расчета математического ожида­ния. Что характеризует эта величина?

9. Перечислите и поясните свойства математического ожи­дания.

10.В чем состоит сущность расчета дисперсии? Что харак­теризует эта величина?

11.Для какой характеристики случайной величины исполь­зуется среднее квадратическое отклонение?

12. Перечислите и поясните свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения.

10