§ 1. Введение в математический анализ
1.1. Элементарные функции. Следующие функции действительной переменной называются основными элементарными функциями:
1. Постоянная функция:
,
(рис. 1);
2. Степенная функция:
,
(рис. 2.a, 2.б,
2.в);
3. Показательная функция:
,
,
(рис. 3.a, 3.б);
4. Логарифмическая функция:
,
,
(рис. 4.a, 4.б);
. 5. Тригонометрические функции:
,
,
,
(рис 5.a, 5.б,
5.в, 5.г);
6. Обратные тригонометрические функции:
,
,
,
(рис. 6.a, 6.б,
6.в, 6.г).
О
сновные
элементарные функции, их области
определения, свойства, графики изучаются
в средней школе. Повторению этого
материала посвящены задания 101-110.
Функция, полученная в результате
последовательного выполнения –
композиции функций
и
,
называется сложной функцией:
.
Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций, примененных к ним, и конечного числа их композиций.
Например, функция
,
где
,
называется линейной, является
элементарной, так как она получена с
помощью сложения функции, путем умножения
постоянной функции
на степенную функцию
,
и постоянной функции
.
Область определения функции
обозначают
или просто
.
Графиком функции называется множество
.
всех точек координатной плоскости
с координатами (
),
причем аргумент
пробегает всю область определения
.
Преобразование графиков. При построении графиков функции часто используют следующие простые геометрические рассуждения. Если Г - график функции , то:
1) график функции
есть зеркальное отражение графика Г
относительно оси
;
2) график функции
- зеркальное отражение графика Г
относительно оси
;
3) график функции
- смещение графика Г вдоль оси
на величину а;
4) график функции
- смещение графика Г вдоль оси Oy
на величину
.
5) график функции
,
- сжатие графика Г в
раз (при
)
или растяжение в
раз (при
)
вдоль оси
;
6) график функции
,
,
- растяжение графика Г в b
раз (при
)
или сжатие в
раз (при
)
вдоль оси
.
Пример 1. Найти область определения для данных функций и построить их графики.
а)
;
б)
.
Решение. а)
Функция определена, если
или
.
Так как корни уравнения
равны
и
,
неравенство справедливо в отрезке
.
Итак,
:
,
значения функции
.
Составим таблицу значений функции и
построим ее график
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-2 |
0,2 |
0,8 |
1 |
0,8 |
0,2 |
-2 |
Заметим, что эта кривая – часть
окружности, в чем легко убедиться
,
или
–
окружность с
ц
ентром
в точке
,
радиусом
.
Так как
графиком данной функции является верхняя
половина этой окружности (см. рис 7.a).
б)Логарифмическая
функция определена для положительных
аргументов, т. е.
,
значит D:
.
График можно построить по точкам, можно
преобразовывая график функции
,
сместив его влево на 1 и сжав в 3 раза
вдоль оси
(см.
рис. 7.б) .