МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Математика

2Семестр

методические указания

к практическим занятиям

по математике

для студентов всех специальностей

заочной формы обучения

Тюмень 2003

Утверждено редакционно-издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: Осташков В.Н., к. ф.–м.н., доцент

Скалкина М.А., к.ф.–м.н. профессор

Канова Т.А., ст. преподаватель

Рожнова В.А., ст. преподаватель

© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

2003

2 семестр

Введение в математический анализ, производная и ее приложения,

дифференциальное исчисление функций двух переменных.

Числовые и степенные ряды

1. Введение в анализ

Функция. Область определения, ее способы задания. Основные элементарные функции и их графики: , , , , , , , , , . Основные понятия: функции четные и нечетные, возрастающие и убывающие, монотонные, периодические. Определения, особенности графиков. Сложная функция (функция от функции), определение. Предел функции в точке. Определение, свойства. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их свойства, связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Первый замечательный предел . Второй замечательный предел . Решение данных примеров на раскрытие неопределенностей , , , , . Определение функции непрерывной на отрезке, в точке. Определение односторонних пределов, классификация точек разрыва.

2. Производная и ее приложения

Производная функции. Определение, геометрический смысл. Вывод уравнения касательной к линии . Основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного, сложной функции). Формулы дифференцирования для основных элементарных функций. Производные высших порядков. Механический смысл и . Дифференциал функции. Определение, геометрический смысл. Формулировка теорем Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Формулировка правил Лопиталя раскрытия неопределенностей и , его использование при решении примеров. Теоремы о достаточном условии возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Сформулировать и доказать достаточное условие экстремума. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба графика функций. Как они находятся? Асимптоты графика функций. Как находятся вертикальные и горизонтальные асимптоты? Полное исследование функции, построение графика на данных примерах.

3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные первого и второго порядка для функции двух переменных. Исследование на экстремум функции двух переменных.

4. Ряды

Числовые ряды. Определение, сумма ряда, необходимый признак сходимости, формулировка признаков сравнения, предельный признак сравнения. Формулировка достаточных признаков сходимости положительных рядов: Даламбера, радикального признака Коши, их применение к исследованию сходимости данного ряда. Ряд сходится тогда и только тогда, когда . Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного ряда: радиус сходимости, сходимость на концах интервала. Ряды Тейлора, Маклорена, для основных элементарных функций. Их применение в приближенных вычислениях.