
- •1.Комбинаторика
- •2. Выборки с повторениями
- •3. Классификация событий. Элементарные события. Классическое определение вероятности.
- •5. Геометрическая вероятность.
- •7. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •9.Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •10. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •13. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события в схеме Бернулли.
- •14. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •15.Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.
- •16. Математические операции над дискретными случайными величинами
- •18.Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •20.Ковариация двух случайных величин и ее свойства. Коэффициент корреляции.
- •23. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Свойства плотности вероятности.
- •26.Биномиальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону
- •27.Теорема Пуассона. Формула Пуассона
- •28.Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
- •29.Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
- •30.Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины.
- •31Показательный закон распределения
- •32 Нормальный закон распределения. Гауссова кривая, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •34. Свойства нормально распределенной случайной величины: вероятность попадания на отрезок, отклонение от математического ожидания, правило «трех сигм».
- •36. Интегральная теорема Муавра-Лапласа:
- •37. Неравенсто маркова(лемма чебышева)
- •40. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
- •45. Основные понятия теории оценок
- •48. Методы получения оценок: метод моментов и метод наибольшего правдоподобия, функция правдоподобия( дискретный и непрерывный случаи), примеры.
- •49. Метод наибольшего правдоподобия
- •55.Общая схема проверки гипотез:
30.Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины.
Н
епрерывная
случайная величина Х имеет равномерный
закон распределения на отрезке [а, b]
если ее плотность вероятности ϕ(х)
постоянна на этом отрезке и равна 0 вне
его, т.е.
при
Кривая
распределения ϕ(х) и график функции
распределения F(х)
случ величины Х приведены на рис.
Теорема:
Функция распределения случайной
величины Х распределенной по равномерному
закону, есть
. Ее математическое ожидание
а
дисперсия
31Показательный закон распределения
О
пр.3.
Непрерывная случайнай величина Х имеет
показательный закон распределения с
параметром λ>0,
если ее плотность вероятности имеет
вид
Функция
распределения
показательного закона: F(x)
= 0 при х < 0 и F(x)
= 1 –
при х ≥ 0.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны: M(X) = 1/ λ, D(X) = 1/ λ2, σ(X) = 1/λ.
32 Нормальный закон распределения. Гауссова кривая, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону
Непрерывная
случайная величинаХ имеет нормальный
закон распределения с параметрами а и
σ 2,
если плотность вероятности имеет вид:
∙
Теорема: Математическое ожидание случ.величины Х распределенной по нормальн закону, равно параметру a этого закона, т.е. M(x)=a а ее дисперсия – параметру σ 2, т.е. D(x)= σ 2
Опр.2 Нормальное распределение с параметром N(0,1) наз-ся стандартным нормальным распределением.
;
Т.о. случ-я вел-на z
имеет станд. нормалное распределение
33.Функция Лапласа и ее свойства. Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Функция, распределения случ величины Х , распределенной по нормальному закону, выражается через ф-ю Лапласса Ф(х) по формуле:
Вероятность
попадания случайной величины между
точками a и b для нормального распределения:
—
функция Лапласа
Свойства
ф-ии Лапласа:
1) Ф(-х)= –Ф(х)
=> нечётная; 2)
;
3)
;
4) x
5
=> Ф(х)
1/2
34. Свойства нормально распределенной случайной величины: вероятность попадания на отрезок, отклонение от математического ожидания, правило «трех сигм».
Свойства:
1.Вероятность
попадания случ велич Х, распределенной
по нормальному закону в интервал [х1,х2]
равна
где
2.Вероятность
того, что отклонение случайной величины
Х, распределенной по нормальному закону,
от мат ожидания a
не привысит величину ∆>0 (по абсолютной
величине) равна
где t=∆∕σ
3. правила трех сигм
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2 , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3 σ,a+3 σ)
35.
Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если
вероятность P
наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие произойдет m
раз в n
независ испытан при достаточно большом
числе n
приближенно равна Pm,n
= φ(x)/
φ(x)
= 1/√2π
∙ exp(
–x2/2
), x
= (m
– np)
/
φ(x) – плотность нормального распределения.
Четная ф-я
Монотонно убыв при при положительных значениях
В случае, когда p q 0,5 рассчёты по этой ф-ле и по ф-ле Бернулли практически совпадают