15.Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.

Опр.7 Функцией распределения случ. вел-ны Х наз-ся вер-ть того, что случ. вел-на Х примет значение меньшее заданного

F(X)=P{X<x},

Свойства ф-ии распределения

1) Ф-ия распределения F(X) неубывающая для ф-ии своего аргумента (т.е. для любых х1, х2: х1<х2 F(x1) F(x2))

Док-во: возьмём 2 произвольные точки х1и х2:

П усть С={X<x2}. А={X<x1}. B={x1 X<x2}. C=A+B

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)

F(x2)= F(x1)+P{x1 X<x2}, где P{x1 X<x2} 0 по опред-ю вер-ти

2) Значение ф-ии распределения стремится к 0 при х–> ­­–­ и предел ф-ии распределения = 1.

3) Функция распределения непрерывна слева.

Значение ф-ии распределения для случ. вел-ны:

Графический ряд распределения изображается в виде ломаной, кот-я наз-ся многоугольником распределения.

16. Математические операции над дискретными случайными величинами

Произведением kX случайной величины X на постоянную величину k называется случайная величина которая принимает значения kXi с теми же вероятностями Pi=(i=1,2,3..)

m- й степенью случайной величины Х, т.е. Х^m ? называется случайная величина, которая принимает значения х_i ^m с теми же вероятностями Pi=(i=1,2,3..)

Суммой, разностью или произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина , которая принимает все возможные значения вида х_i+ y_j (х_i- y_j или х_i* y_j) где i=1,2..n а j=1,2,..m с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение х_i а Y- y_j

17. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Математических ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(x) = ∑ⁿ_i=1 x_i∙p_i = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_np_n.Если дискретная случайная величина принимает счётное множество возможных значений, то математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равна самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С∙М(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁Х₂…Х_n) = M(X₁)∙M(X₂)∙…∙M(X_n).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁+Х₂+…+Х_n) = M(X₁) + M(X₂) +…+ M(X_n).

18.Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = ∑ⁿ_i=1 (x_i – M(x))²p_i = M(x²) - M²(x).

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(С) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(С∙Х) = С²∙D(Х).

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁+Х₂+…+Х_n) = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n).

Свойство 3 Если все значения случайной величины Х увеличить или уменьшить на постоянную С то дисперсия не изменится

19. Система двух случайных величин. Условный закон распределения. Числовые характеристики условных распределений. Функции регрессии.

Условным законом распределения одной из составленной двумерной случайной величины называется закон распределения этой величины, вычисленный в предположении что другая сост. Приняла определенное значение

Далее можем рассмотреть числовые характеристики условного распределения: условное мат.ожидание и условн.дисперсию. , , , которые высчитываются по условным вероятностям.

Условное зависит от того какое значение принимается величиной Х, т.е. явл.функц. пер-й Х. является функ. Регрессии Y по Х.

График f(х)-линия регрессии Y по Х.

Если Х и Y независимые случайные величины, то услов.вероятности

а условное мат.ожидание