5. Геометрическая вероятность.

Постановка задачи: пусть G – огранич. плоская область с конечной площадью. В эт. области содержится обл. g облад-щая те-ми же св-ми. В обл. G наугад бросается точка, она может попасть в любое место обл-ти G (рис.1). Вер-ть точки попасть в g пропорциональна отношению площадей G и g и не зависит от ее формы и расположения. Т.о. вер-ть попадан. в обл. g точки, брош. в обл. G наудачу, =, по опред.: Р=S(g)/S(G), S(g) и S(G) – площ. g и G в общем виде S(g) и S(G) – меры множеств g и G.

Задача о встрече: Два лица А и В условились встретиться м/у 12 и часом дня. Пришедший первым ждёт 20 минут и уходит. Какова вероятность встречи, если приход каждого в течен. часа мож. произойти наудачу и моменты прихода А и В независимы. Решение: обозначим момент прихода А через х, а В – у. Изобразим х и у как декарт. коорд-ты, единиц. масшт. – 1 мин. (рис.2). Всевозможн. исходы можн. изобразить ввиде пар (х, у) – т. квадрата со стороной 60. Встр. состоится, если x – y ≤20 (заштрих. обл.). Область G =60 ², g = 60 ² - 2*0,5*(40*40) = 60²- 40², p = (60²- 40²) / 60²= 5 / 9.

6. Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой А+В соб. А и В называется событие, которое состоит в наступлении собития А или В или обоих А+В=АvВ

Теорема сложения вер-тей: Вер-ть суммы 2-х совместных соб-ий = вер-ти суммы этих событий минус вер-ть их пересечений АВ => P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док-во: А+В=А +AB+B

А , AB, B – попарно несовместны => Р(А+В)=Р(А )+Р(В )+Р(АВ).

Выразим через А,В,АВ:

А= А +АВ

B=B +AB

Р(А)=Р(А +АВ)

Р(В)= B +AB =>

Р(B )=P(B)–P(AB)

P(А )=P(A)–P(AB)

подставляем в Р(А+В): Р(А+В)= P(A)–P(AB)+P(B)–P(AB)+Р(АВ)= P(A)–P(AB)+P(B). Теорема доказана

7. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном наступлении событий А иВ. Если А и В несовместны то А*В=0

Вероятность события А, вычисленная при условии что событие В произошло называется условной вероятностью и обознач. P(А/В)

Теорема умножения вероятностей: Вер-ть совместного появления двух событий равна произведению вер-ти одного из них на условную вер-ть другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:P(AB) = P(A) ∙ P_A(B).Для независимых событий:P(AB) = P(A) ∙ P(B), т.е. вер-ть совместного появления двух независимых событий равна произведению вер-тей этих событий.

8.Независимые события. Независимость в совокупности. Теорема умножения для независимых событий.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Условие независимости событий можно записать в виде: P(А/В)=P(А) а P(В/А)=P(В)

Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей P(А*В)=P(А)* P(В)

Вероятность наступления хотя бы одного из n независимых событий может быть вычеслена по формуле

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.