23. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Свойства плотности вероятности.

Непрерывные случ. вел-ны

Опр.1 Случ. вел-на Х наз-ся непрерывной, если её ф-ия распределения F(X) непрерывна в любой точке числовой прямой и диф-ма всюду, кроме, быть может, отдельных точек, где она терпит излом.

Опр.2. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f(x) = F'(x).

Функция плотност и вероятностей непрер случ величины Х назыв производная от её функции распределения

Свойства плотности вероятности.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x) ≥ 0. (как производная неубывающей ф-ии распределения)

Свойство 2. Вер-ть попадания непрер-ой случ. вел-ны в равна

Док-во: . Но т.к ф-я распред-я явл-ся первообразной для плотности (по опред.), то по ф-ле Ньютона-Лейбница, приращ-е первообразной на отрезке – это и есть опред-ый интеграл.

Свойство 3. Ф-ия распределения непрер-ой случ. вел-ны равна F(x) = ∫^х_–∞ f(x)∙dx. Док-во: F(X)=P{X<x}=P{– <X<x} и по св-ву 2 следует св-во 3.

Свойство 4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице: ∫^+∞_-∞ f(x)∙dx = 1. Док-во: рассм-м 24.Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана. Понятия квантиля и процентной точки.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: M(x) = ∫^+∞_-∞ x∙f(x)∙dx, где f(x) – плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Опр.4. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: D(x) = ∫^+∞_-∞ [x – M(x)]²∙f(x)∙dx, или равносильным равенством: D(x) = ∫^+∞_-∞ x²∙f(x)∙dx – [M(x)]².

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины: σ(х) = √D(x).

Опр.6. Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение

Опр.8. Медианой М_е(Х) непрерывной случайной величины Х называют то её возможное значение, которое определяется равенством: Р[X < М_е(Х)] = P [ X > М_е(Х)]=1/2

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Опр.7. Квантиль уровня q называется такое такое значение Х_qслучайной величины при котором функция ее распределения принимает значение, равное q т.е.: Р(Х < x_q) = q.

Квантиль порядка 1/2 называется медианой.

С понятием квантиля тестно саязано понятие процентной точки. Под 100%-ной точкой подразумевается квантиль Х_1-_q т.е. такое значение случ величины Х при котором P(X>= Х_1-_q)=q

25. Моменты случайных величин: начальные и центральные. Асимметрия и эксцесс.

Начальным моментом k- го порядка случайной величины Х называется мат.ожидание k- ой степени этой случайной величины