9.Теорема сложения вероятностей совместных событий.

пусть А и Б - два совместных события, тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения, т.е.

Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)-Р(АБ)

10. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности: Вер-ть события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … , В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вер-тей каждой из гипотез на соответствующую условную вер-ть события А:P(A) = P(B₁) ∙ P_B₁(A) + P(B₂) ∙ P_B₂(A) + … + P(B_n) ∙ P_Bn(A), где P(B₁) + P(B₂) + … + P(B_n) = 1.

Формула Бейеса: Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … , В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вер-ти гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса: P_A(B_i) = P(B_i) ∙ P_B₁(A) / P(A) (i = 1, 2, … , n), где P(A) = P(B₁) ∙ P_B₁(A) + P(B₂) ∙ P_B₂(A) + … + P(B_n) ∙ P_Bn(A)

13. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события в схеме Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с постоянной вероятностью p и не появиться с постоянной вероятностью (1-p)=q.

Найти вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит ровно k раз.

pn(k)=Сknpkqn−k (формула, схема Бернулли)

Задача.

Два шахматиста играют в шахматы.

Что вероятнее: выиграть 2 из 4-х раз или 3 из 6 раз. Ничьи во внимание не принимаются.

Решение.

Найдем вероятность того, что шахматист выиграет 2 из 4-х раз: p4(2)=С24(21)2(21)4−2=83

Вероятность того, что шахматист выиграет 3 из 6 раз: p6(3)=С36(21)3(21)6−3=516

83>516, или p4(2)>p6(3), поэтому 2 из 4-х раз выиграть вероятнее.

Формула Бернулли: P_n(m) = C^m_np^mq^n–m, где n – число опытов в одинаковых условиях, m – число опытов, в которых произошло событие А, р – вероятность события А при каждом испытании, q = 1 – p.

Функция распределения: F(x) = P(X < x) = ∑ _xi<x p(x_i)

Вероятность того что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле - формула Бернулли

Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если вероятность наступить событию это число раз наибольшая по сравнению с вероятностями других исходов данной серии испытаний

Наивероятнейшее число m событий А вычисляют по формуле

n-число независимых испытаний, p-вероятность наступления события А в любом из этих испытаний, q-вероятность ненаступления события А в каждом из этих испытаний.

14. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Опр.1. Случайной величиной наз-ся величина, кот-я в рез-те опыта со случайным исходом принимает то или иное случайное значение.

Опр.2. Случайная величина – функция от элементарного события.

Х = f(w), w

X=X(w), w

Обонач. Заглавными печатными буквами, а их значения – малыми буквами. X=X(w) д.б. такой, чтобы вер-ть соб-ия, состоящая в том, что случ. вел-на Х попадёт в интервал от – до х, принадлежащего полю событий F и для любого такого соб-я А была бы определена вер-ть, кот-я в свою очередь принадлежит P

Р{x|w|<x}=P(A)

Когда конечно или счётно, случайной величиной явл-ся любая числовая ф-ия, определённая на .Если F конечно или несчётно, то случайная вел-на наз-ся дискретной (отдельные и изолированные значения)

Дискретные случайные величины

Опр.3 Дискретной наз-ся такая случ. вел-на, кот-я м. принимать изолированные(дискретные)значения, кол-во кот-ых м подсчитать (пронумеровать).

Опр.4. Непрерывной наз-ся такая случ. вел-на, кот-я может принимать значения в заданном интервале.

Опр.5. Любое правило (таблица ф-ий и т.д.), позволяющее находить вер-ть всех возможных событий, связанных со случайной величиной, наз-ся законом распределения случ. вел-ны.

Опр.6. 2 случайные вел-ны наз-ся независимыми, если зак-н распределения одной их них не зависит от того, как распределена другая. В противоположном случае говорят, что они зависимы.

Для дискретной случ. вел-ны рядом распределения наз-ся закон распределения этой вел-на в виде таблицы. В верхней части расположены все значения, кот-ые м. принимать случ-я вел-на (в порядке возрастания), а в нижней – соответсвующая им вероятность.