45. Основные понятия теории оценок

Опр.1. Любая ф-ия от выборки (числовая) наз-ся статистикой. —статистика

Задача оценки параметра а состоит в том, чтобы подобрать статистику , кот-я в некотором смысле была бы близка к оцениваемому параметру

Опр.2. Если с ростом объёма выборки n оценка сколь угодно близко приближается к оцениваемым параметрам а, то такая оценка наз-ся состоятельной

Опр.3. Оценка нас волнует такая, что её матем. ожидание равно оцениваемому параметру, наз-ся несмещённой. — несмещённая оценка.

Если это не так, то оценка смещённая.

Теор. (о состоя-ти оценки): Если оценка –несмещённая оценка параметра а, т.е и её дисперсия стремится к 0 с увеличением объёма выборки, т.е. , то такая оценка будет состоятельной.

Док-во: Воспользуемся нер-вом Чебышева: . Возьмём произвольное . . Перейдём к пределам: . С вероятностью 1 будет противоположное нер-во. Теорема док-на

Опр.4. Несмещённая оценка параметра а наз-ся эффективной, если её дисперсия наименьшая по сравнения с дисперсией любой другой несмещённой оценки.

Опр.5. Оценку наз-ют точечной ,если она определяется одним числом.

Оценка вер-ти случайного события А

Проведём серию из n независимых опытов Х – число появления события А в этих опытах — индикатор события А. — число успехов

По теореме Бернулли, возьмём в качестве оценки относит-ую частоту

Теорема: Оценка ,равная относит. частоте = x / n явл-ся состоятельной, несмещённой и эффективной.

45. Статистическая оценка – любая функция от выборки. Свойства статистической оценки:

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Эффективность

Теорема: Оценки и – несмещенные, а оценка – состоятельная.

Доказательство: Сначала докажем несмещенность оценок. Нужно проверить, что M =a, M =σ .

По определению имеем

M =M = =a.

Далее,

M = , где

Выполним тождественные преобразования:

= = =

Далее воспользуемся тем, что MX = σ +a , и при M (X X )=MX ·MX ( случайные величины X и X независимы)

= σ +a )– =(1– ) σ , то есть M =σ .

Докажем состоятельность оценки . Для этого вычислим D :

D = → 0.

Если D и M → 0, то – состоятельная оценка параметра x.

48. Методы получения оценок: метод моментов и метод наибольшего правдоподобия, функция правдоподобия( дискретный и непрерывный случаи), примеры.

Метод моментов

Пусть x , x … x – независимая выборка из распределения с плотностью p(x; θ ,…, θ ), зависящей от параметров θ ,…, θ .

Определение: Интеграл вида

m ( θ ,…, θ )= называется теоретическим моментом порядка k, а статистика называется выборочным моментом порядка k.

Предположим, что при k=1,2….r, все теоретические моменты m ( θ ,…, θ ) конечны и что система уравнений m ( θ ,…, θ ), k=1,2,…,r однозначна разрешима, причем решение m ( b ,…, b ), k=1,2,…r дается непрерывными обратными функциями m . При этих условиях имеет место

Теорема о методе моментов. Оценки , получаемые как решения системы уравнений m ( b ,…, b ), k=1,2,…r состоятельны.

Пример 1. Найти методом моментов по выборке x , x … x точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения с плотностью p(x)= λe (x >0).

Решение. Здесь неизвестный параметр один, поэтому вычисляем теоретический и выборочный моменты: m = = ,

Искомая оценка имеет вид .