Кусочно-линейная характеристика нелинейного элемента

Нелинейная индуктивность имеет симметричную кусочно-линейную характеристику (по оси x – ток i, А; по оси y – ψ, Вб), указанную на графике 1.

График 1

Задания для подготовки данных к расчетам

1. Построить в удобном масштабе характеристику НЭ (положительную и отрицательную ветви).

2. Методом эквивалентного генератора (нагрузка – нелинейный элемент) привести сложную цепь в установившихся режимах до коммутации и после коммутации к одноконтурной цепи (сводится к определению и ).

3. Определить начальную и конечную координаты рабочей точки на характеристике НЭ (то есть стационарное состояние НЭ до и после коммутации). Координаты начальной точки служат начальными условиями или для расчета переходного процесса.

4. По законам Кирхгофа определить установившееся значение искомой величины после коммутации.

5. На основе законов Кирхгофа для заданной схемы составить уравнение, описывающее связь между искомой величиной и переменной состояния ( или ) в следующей форме:

или ,

где – постоянные коэффициенты.

6.) Определить уравнения линейных участков в виде , где – дифференциальный параметр НЭ на линейных участках, – номер участка.

7.) Составить для одноконтурной схемы после коммутации характеристическое уравнение в виде: , где и – постоянные коэффициенты, которые необходимо вычислить.

Требования, предъявляемые к оформлению результатов

Пояснительная записка к курсовой работе должна содержать:

а.) Задание на выполнение типового расчета.

б.) Описание этапов расчета переходного процесса.

в.) Общий график переходного процесса.

График должен быть оформлен в соответствии с существующими правилами (указание равномерных масштабных делений и величин на осях, четкая простановка точек и т. д.).

На графике должны быть указаны моменты сопряжения интервалов. Продолжительность графика должна быть достаточной для определения по нему времени установления переходного процесса.

Описание этапов расчёта

1. Используя метод эквивалентного генератора относительно нелинейной индуктивности, преобразуем исходную цепь.

а.) 1.1. До коммутации:

Определим . Схема, соответствующая докоммутационному режиму:

Рис. 2

; ; .

1.2. Определим входное сопротивление (эквивалентное сопротивление) схемы до коммутации; источник тока разрываем, а источник ЭДС – закорачиваем.

Схема, соответствующая нахождению :

Рис. 3

.

1.3. Заменим двухполюсник эквивалентным генератором. Тогда исходная цепь примет вид:

Рис. 4

.

б.) 1.1. После коммутации:

Определим . Схема, соответствующая послекоммутационному режиму:

Рис. 5

; ;

На основе законов Кирхгофа:

;

С помощью MathCad определим:

Значит

.

1.2. Определим входное сопротивление (эквивалентное сопротивление) схемы после коммутации; источник тока разрываем, а источник ЭДС – закорачиваем.

Схема, соответствующая нахождению :

Рис. 6

.

2.3. Заменим двухполюсник эквивалентным генератором. Тогда исходная цепь примет вид:

Рис. 8

.

Методом наложения определим

2. На основе уравнений Кирхгофа в цепи после коммутации составим уравнение связи между искомой величиной i₁(t) и током i_L(t):

Рис. 9

,

,

– получившееся уравнение связи.

i_L(t) = i_Lуст(t) + i_Lсв(t); z_вх(p) = R_экв + pL = 0 → p = ;

Рис. 10

3. Определим уравнения линейных участков индуктивности в виде (1), где - дифференциальный параметр НЭ на линейных участках, - номер участка.

Подставим в выражение (1) координаты точек характеристики НЭ на соответствующем участке

1-ый участок ;

откуда следует , .

2-ой участок ;

откуда следует , .

3-ий участок ;

откуда следует , .

4-ый участок n=4

=1.2 =0.036

=2 =0.044

=((0.008 -0.0096)/0.8)+0.036=0.01 +0.024=0.01 3.8+0.024=0.062

откуда следует: =0.01, =0.024

Для получения коэффициентов и , использовали специальную MathCad-программу, которая решает заданные системы уравнений.

4. Расчет искомой величины для каждого из участков:

График 2

I-участок:

p = ;

i_L(0^-) = i_L(0⁺) = -0.2;

i_L,_уст(t) = 3.8A;

i_L(t) = ;

i_L(0⁺) = 3.8+A = -0.2;

A = -0.2-3.8 = -4;

i_L(t) = .

С помощью Mathcad найдем t:

i_L(t) = 0.4.; 0.4 =

=325мкс

i₁(t) = 0.5( ) -0.9 = 1– 2 e^-500t.

II- участок:

p = ;

i_L(0^-) = i_L(0⁺) = 0.4;

i_L,_уст(t) = 3.8A;

i_L(t') = ;

i_L(0⁺) = 3.8+A = 0.4;

A = -3.4;

i_L(t') = ;

С помощью Mathcad найдем t’ :

i_L(t') = 1.2; 1.2=

t_II = t_I + t' = 325+ 215 = 540мкс;

i₁(t’) = 0.5(3.8 – 3.4e^-1250t’) -0.9 = 1– 1.7 e^-1250t’.