Скалярное произведение векторов. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по системе векторов.
Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.
Определение 10.14 Система векторов
называется
линейно зависимой, если существует
такой набор коэффициентов
о
тличен
от нуля, что
Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.
Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Расстояние между двумя точками.
Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.
Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные.
Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Т.к. я не встречал примеров применения косоугольных систем, то я их не рассматриваю. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат.
Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.
Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы координат.
Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.
На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.
Рис. 2: Декартова плоскость
Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осью ординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.
Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.
Рис.2