- •Основные определения, связанные с матрицами.
- •Операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
- •3. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисление определителей. Свойства определителей.
- •Обратная матрица.
- •Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •Решение системы из п уравнений с п неизвестными по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
- •Метод Гаусса.
- •Системы линейных однородных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.
- •Скалярные и векторные величины. Трехмерные векторы. Действия над векторами.
- •Свойства линейных операций над векторами.
- •Скалярное произведение векторов. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Расстояние между двумя точками.
- •Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Разные формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
- •Переменные и их пределы. Величины бесконечно малые и бесконечно большие.
- •2. Переменные величины и фу нкции.
- •Теоремы о пределах. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
- •Замечательные пределы.
- •Асимптоты графика функции.
- •Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную.
- •Дифференциал и его геометрический смысл.
- •Монотонная функция. Условие монотонности функций.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
- •Направление вогнутости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Нахождение области определения функции.
- •Общая схема исследования графика функции.
- •Правило Лопиталя.
Скалярные и векторные величины. Трехмерные векторы. Действия над векторами.
Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление. Например, если сказано, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час (то есть дано численное значение скорости), то про его скорость известно не все, потому что неизвестно, куда, в каком направлении он двигается. Примеры - скорость, сила, перемещение (перемещением движущейся точки в данный момент времени называют вектор с началом в точке начала ее движения, и концом в точке ее расположения в этот момент (рис. 53)).
Скалярными называют величины, имеющие численное значение, но не имеющие направления. Примеры - количество каких-нибудь предметов, длина, плотность.
Векторные величины обозначают в тексте буквами со стрелками (например,или), а на чертежах - стрелками, при этом длина стрелки равна численному значению вектора, а направление совпадает с направлением вектора.
Действия над векторами.
Действия над векторными величинами приходится производить с учетом их направления. В этом учебнике мы ограничимся рассказом о геометрических методах.
Сложение двух векторов . Для того чтобы сложить векторыи, нужно поместить начало векторав конец вектора. Тогда вектор с началом в началеи концом в конце и будет равен их сумме. Точно так же можно складывать любое число векторов.
Умножение вектора на число . Вектор -представляет собой вектор с началом в конце и концом в начале. Вектор n представляет собой сумму n векторов.
Вычитание векторов . Вектор-можно представить как сумму двух векторов:-=+ (-).
Свойства линейных операций над векторами.
Сложение векторов
Два вектора u, v и вектор их суммы
Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.
Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
А модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов где — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула теперь — угол между векторами выходящими из одной точки.
Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.
Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.
[править]
Сложение коллинеарных скользящих векторов