18. Замечательные пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы

Пусть

Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

(из

: | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия:

19. Понятие непрерывности функций. Непрерывность элементарных функций. Основные свойства непрерывных функций: существование наименьших и наибольших значений, существование промежуточных значений. Примеры разрывных функций.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке

(

множество действительных чисел), если для любой последовательности

такой, что

выполняется соотношение

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел

с уществует;

3. Выполняется равенство

Определение непрерывности по Коши (нотация

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел

на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке

если для любого числа

существует число

такое, что для всех

удовлетворяющих соотношению

выполняется неравенство

Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство

где

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.