17.Производные основных элементарных функций.
Пусть
.
Воспользуемся схемой нахождения
производной.
1. Дадим
аргументу
приращение
и найдем наращенное значение функции
.
2. Находим
приращение функции
.
3. Составим
отношение
.
4. Находим
предел
.
Итак,
производная степенной функции равна
.
Пусть
.
Воспользуемся схемой нахождения
производной.
1. Дадим
аргументу
приращение
и найдем наращенное значение функции
.
2. Находим
приращение функции
.
3. Составим
отношение
.
4. Находим
предел
.
Итак,
производная логарифмической функции
равна
.
Если
,
то
.
Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.
1. Дадим
аргументу
приращение
и найдем наращенное значение функции
.
2. Находим
приращение функции
.
3. Составим
отношение
.
4. Находим
предел
.
Итак,
производная функции
равна
.
Пусть
.
Итак,
.
Таблица производных
№ |
Функция |
Производная
|
№ |
Функция |
Производная |
1 |
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
9 |
|
|
3 |
|
|
10 |
|
|
4 |
|
|
11 |
|
|
5 |
|
|
12 |
|
|
6 |
|
|
13 |
|
|
7 |
|
|
14 |
|
|
18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
Теорема
Роля.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема в интервале
и принимает равные значения на его
концах, т.е.
,
то в интервале
найдется по крайне мере одна точка
такая, что
.
Теорема
Лагранжа.
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
,
то в этом интервале найдется по крайне
мере одна точка
такая, что
.
Пример.
Справедлива ли теорема Рояля для функции
на отрезке
.
Так
как функция
непрерывна и дифференцируема при всех
и ее значения на концах отрезка
равны, т.е.
,
то в данном случае все условия теоремы
Рояля выполняются, Значение
,
при котором производная
обращается в нуль, найдем из уравнения
,
откуда
.
19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
Теорема
Коши.
Если функции
и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы в интервале
,
причем
,
то в этом интервале найдется по крайне
мере одна точка
такая, что
.
Пример.
Проверить, что функции
и
на отрезке
удовлетворяют условиям Коши.
Функции
и
непрерывны при всех
,
а значит, и на отрезке
;
их производные
и
существуют везде; кроме того,
на заданном отрезке не обращается в
нуль.
Следовательно,
к данным функциям применима теорема
Коши:
,
т.е.
,
откуда находим два значения
:
,
.
Из
полученных значений только
удовлетворяет условию задачи, так как
является внутренней точкой отрезка
.
Формула
Тейлора.
Пусть функция
имеет в точке
и некоторой ее окрестности производные
порядка
.
Пусть
- любое значение аргумента из указанной
окрестности,
.
Тогда между точками
и
найдется точка
така, что справедлива формула Тейлора
.
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена:
.
.
.