22. Правила исследования функций.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Область определения функции : .

2. Исследование функции на четность-нечетность.

Так как , то функция общего вида.

3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как , .

4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Так как , то функция горизонтальных асимптот не имеет.

Так как , , то прямая является наклонной асимптотой.

5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Найдем производную первого порядка . Приравняем первую производную к нулю , откуда , . Знаки производной первого порядка указаны на рисунке.

	-	+	-
	-1	0

Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .

6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка . Приравняем вторую производную к нулю , откуда . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.

	+	+
	0

Функция выпукла вверх на интервалах , . Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.

23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.

Определение. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно .

Пример. Построить линию уровня функции .

Линия уровня это кривая на плоскости задаваемая уравнением или . Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

24. Предел функции нескольких переменных.

Определение. Число называется пределом функции при и , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число , такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстоянии меньшее, чем , выполняется неравенство .

Пример. Найти предел .

Обозначим . Условие , равносильно тому, что . Запишем предел в виде .