Филичев П.В. Математика для электромехаников / filichev / lecture05

Изображение функции времени в виде отношения двух полиномов по степеням p Изображение функции времени в виде отношения двух полиномов по степеням p

Пример:

Схема из примера выше.

E(p) = E. Для выражения

Если для того же примера

Пусть n – наивысшая степень в полиноме N(p), а

m – наивысшая степень в полиноме M(p)

Во всех физически осуществимых электрических цепях n ≤ m

Переход от изображения к функции времени

Применение формул соответствия. Рекомендуется пользоваться в том случае, если среди корней уравнения M(p)=0 есть несколько одинаковых корней (кратные корни) и/или есть корень равный нулю (p=0).

Применение формулы разложения. Пример:

t

u(t) = 2500 t

R = 400 Ом

C = 200 мкФ

Uc(t) - ?

Uc(0,1) - ?

Один из корней равен нулю (p1=0). Поэтому можно воспользоваться таблицей соответствия оригиналов и изображений.

Разложение сложной дроби на более простые

Пусть имеется сложная дробь в виде отношения двух полиномов по степеням x.

Если n ≤ m и уравнение M(x)=0 не имеет нулевого корня и кратных корней, то дробь может быть представлена в виде:

или ,

где xk – корни уравнения M(x)=0.

Методы разложения

Метод неопределенных коэффициентов

Использование правила Лопиталя.

Пример:

Пусть имеется дробь

В данном примере N(x) = 1, а M(x) = x2-5x+6

Решим уравнение M(x) = 0 ⇒ , x1=2, x2=3. Отсюда

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Решая полученную систему уравнений, получим:

Таким образом, исходную дробь можно разложить как:

Теперь найдем эти коэффициенты, используя второй способ.

Найдем A0. Для этого приравняем x к нулю (x = 0)

Обозначим и получим

Найдем A1

Помножим обе части исходного уравнения на (x-x1)

Найдем предел от обеих частей уравнения при x → x1

В левой части получим

,

т.к. x1 – корень уравнения M(x) = 0

Для нахождения этого предела применим правило Лопиталя.

Аналогично и

Таким образом,

Для примера выше:

Пример 2

Общую формулу разложения можно записать следующим образом:

(3.1) Замечания относительно формулы разложения:

Формула разложения применима при любых начальных условиях при любых формах напряжения.

Если начальные условия нулевые, то в состав N(p) войдут внутренние ЭДС

Если M(p)=0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (3.1) оказываются комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.