Филичев П.В. Математика для электромехаников / filichev / lecture03

Ряд Фурье Ряд Фурье

До этого рассматривалась сумма f(x) заданного сходящегося тригонометрического ряда. На практике важна следующая обратная задача: дана функция f(x) с периодом 2π. Для нее существует собственный или несобственный интеграл

требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд

Если эта задача имеет решение, то оно единственно, и коэффициенты искомого ряда находятся по формуле Эйлера - Фурье.

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции f(x).

Не исключено, что поставленная здесь задача не имеет решения: ряд Фурье (даже при непрерывности функции f(x)) может оказаться расходящимся в бесчисленном множестве точек на промежутке (-π,π). Поэтому связь между функцией f(x) и ее рядом Фурье обозначают так:

избегая знака равенства.

Однако для всех практически важных непрерывных функций задача имеет решение, т.е. ряд Фурье непрерывной периодической функции f(x) на практике оказывается всюду сходящимся и сумма его равна данной функции, а не какой-либо иной.

Более того, разрывные периодические функции, имеющие практическое значение, тоже разлагаются в ряд Фурье, но с одной оговоркой: в точках разрыва функции f(x) ее ряд Фурье может иметь сумму, отличную от соответствующего значения самой функции.

Замечание

Непериодические функции, определенные в промежутке (-π,π), тоже можно разлагать в ряд Фурье, но со следующей оговоркой: за пределами промежутка (-π, π) и на его концах ряд Фурье функции f(x) будет иметь сумму, которая, как правило, будет отличаться от соответствующего значения самой функции. Это естественно, поскольку сумма тригонометрического ряда есть периодическая функция. Но это несущественно, поскольку нас интересует значения функции лишь внутри промежутка (-π,π).

Ряд Фурье для непрерывной функции

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке (-π,π) и либо не имеет здесь экстремумов, либо имеет их конечное число. Тогда ряд Фурье для этой функции сходится всюду. Сумма его равна f(x) для всякого значения x внутри промежутка (-π, π). На обоих концах сумма равна

,

т.е. среднему арифметическому между значениями функции в этих точках.

Пример.

f(x) = x. Она непрерывна в замкнутом промежутке (-π,π) и не имеет экстремумов. Коэффициенты a0, a1, a2, a3, ... ее ряда Фурье - нули. Действительно,

.

Первое слагаемое после подстановки x = -x' преобразуется в

и в сумме со вторым дает нуль.

Коэффициенты bn находятся интегрированием по частям:

Ряд Фурье для функции x имеет вид

Для n=5 график его будет следующим

Ряд Фурье для четной и нечетной функции

Ряд Фурье для четной функции не содержит синусов. Коэффициенты Фурье равны

Ряд Фурье для нечетной функции не содержит косинусов и свободного члена. Коэффициенты Фурье равны

Пример.

f(x) = |x| - четная, значит, ее ряд Фурье будет состоять из синусов.

Введение в операторный метод

Для выполнения умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться логарифмами.

Операция умножения сводится к сложению, а деления – к вычитанию логарифмов.

Таким образом, облегчение в расчете получается в силу того, что сравнительно сложная операция сводится к более простой.

Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа.

Пример: 0,30103 == логарифм числа 2 по основанию 10.

Различие между изображением числа в виде логарифма и изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа.

Изображение в виде логарифма – это изображение числа, а не функции

Изображение синусоидальной функции в виде комплексного числа – это изображение функции времени

Операторный метод основан на использовании понятия изображения функции времени.

Каждой функции времени соответствует изображение и наоборот

Преобразование Карсона-Хевисайда

Для получения изображения функции времени вводится новая переменная p = a +jb

Обозначим f(t) оригинал, а F(p) – изображение этой функции.

Для перехода от оригинала к изображению используется формула преобразования Карсона-Хевисайда:

.

Соответствие оригинала и изображения обозначают так: F(p) == f(t)

Эта формула читается следующим образом: изображению F(p) соответствует функция времени f(t).

Интеграл

,

в состав которого входит функция e-pt=e-ate-jbt, сходится только в том случае, когда модуль функции |f(t)| если и возрастает с увеличением t, то все же медленнее, чем |e-pt| = ept.

Практически, все функции в электротехнике этому условию удовлетворяют.

Изображения некоторых простейших функций.

f(t) =A = const

Изображение по Лапласу

Для перехода к операторной форме представления функции времени существует множество других формул преобразования. Одной из них является формула Лапласа. От формулы преобразования Карсона-Хевисайда она отличается только отсутствием множителя p перед интегралом.

В электротехнике чаще используется преобразование Карсона-Хевисайда, в котором изображение константы соответствует константе и оригинал и изображение имеют одинаковую размерность.

Пусть

Изображение производной

Пример (катушка индуктивности)

Без доказательства приведем формулу соответствия изображения второй производной: