Филичев П.В. Математика для электромехаников / filichev / lecture02
.htmlТригонометрический ряд Тригонометрический ряд
В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена, и использовать знакомые методы преобразования в изображения на комплексной плоскости.
Тригонометрическим рядом называют ряд вида
(2.1) Здесь a0, a1, a2 , ... , b1, b2, ... - постоянные, называемые коэффициентами ряда.
Замечания.
Свободный член (его можно записать в виде a0/2cos 0x обозначается через a0/2 (а не через a0) с той целью, чтобы формулы для коэффициентов были единообразными.
Все члены ряда являются периодическими функциями с периодом 2π. Это значит, что когда аргумент x возрастает на величину, кратную 2π, все члены сохраняют свои значения.
Тригонометрическим рядом называют также общее выражение
, (2.2) где l - положительная постоянная, называемая полупериодом [все члены ряда (2.2) - периодические функции с периодом 2l, ср. замечание 2]. Ряд (2.1) есть частный случай ряда (2.2), когда полупериод l=π.
Исторические сведения о тригонометрических рядах
Тригонометрические ряды были введены Даниилом Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. В связи с изучением колебаний струны. Возникший при этом вопрос о возможности разложения данной функции в тригонометрический ряд породил горячие споры между первоклассными математиками того времени (Эйлер, Даламбер, Лагранж). Разногласия порождались тем, что понятие функции в то время не было отчетливо установлено. Упомянутые споры содействовали уточнению понятия функции.
Формулы, выраженные коэффициентами ряда (2.1) через данную функцию, были даны французским математиком Алексом-Клодом Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (В работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Развивая идею Фурье, немецкий математик Петер Густав Лежен-Дирихле в 1829 г. Установил и строго доказал достаточный признак разложимости функции в тригонометрический ряд.
Впоследствии были установлены другие достаточные условия, и исследованы функции, не удовлетворяющие упомянутым условиям. В разработку теории тригонометрических рядов и их практических приложений важный вклад внесли многие ученые (Лобачевский, А.Н. Крылов, С.Н.Бернштейн и др.)
Ортогональность системы функций cos nx, sin nx
Определение 1. Две функции φ(x) и ψ(x) называют ортогональными в промежутке (a, b), если интеграл произведения φ(x)ψ(x), взятый в пределах от a до b, равен нулю.
Пример 3.
Функции ортогональны в промежутке (-π, π), т.к.
Пример 4.
Функции ортогональны в промежутке (-π, π), т.к.
Теорема
Любые две различные функции, взятые из системы функций
1, cosx, cos2x, cos3x, ... , sinx, sin2x, sin3x, ..., (2.3)
ортогональны в промежутке (-π, π), т.е.
(2.4) (2.5) (2.6) (m, n - любые натуральные числа).
Доказательство по образцу примеров 3 и 4.
Замечания.
Если вместо двух различных функций системы (2.3) взять две одинаковые, то интеграл в пределах от -π до π равен π для всех функций (2.3), кроме первой, для которой он вдвое больше:
, (2.7) (2.8) Формулы (2.8) получаются с помощью преобразований
Формулы (2.4) - (2.8) сохраняют силу для любого интервала длиной 2π. Например, .
Определение 2.
Если в какой-либо системе функций каждые две функции ортогональны, то и сама система называется ортогональной. В силу теоремы настоящего раздела система (2.3) ортогональна в промежутке (-π, π) (а также в любом промежутке длиной 2π).
Формулы Эйлера-Фурье
Теорема.
Пусть тригонометрический ряд
(2.9) сходится для всех значений x к некоторой функции f(x) (эта функция - периодическая, с периодом 2π). Если для этой функции (она может быть и разрывной) существует интеграл
(собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (2.9) имеют место следующие формулы Эйлера - Фурье:
..............
и вообще
(2.10) Выражение для a0 получается из общей формулы для an, если через a0 обозначить свободный член ряда (2.9), а не его удвоенную величину.
Для доказательства этого необходимо проинтегрировать исходную функцию ряда Фурье в пределах от -π до π. После этого получается формула для a0 (т=0). Остальные формулы получаются тем же способом, если предварительно помножить это равенство на cos nx или на sinnx.
Каждое слагаемое, содержащее функцию синуса или косинуса частоты nx, называется гармоникой n. Гармоники, для которых n – число четное, называют четными гармониками; гармоники, для которых n – число нечетное, называют нечетными гармониками. При разложении обычно указывается, до какой гармоники раскладывается функция. Как правило, ограничиваются пятью гармониками, но для точных расчетов может использоваться и больше – до 21.
Тригонометрический ряд с произвольным периодом.
Пусть тригонометрический ряд с периодом 2l:
(2.11) сходится для всех значений x к некоторой функции f(x) (эта функция также имеет период 2l). Если существует интеграл
(собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (2.11) имеют место следующие формулы Эйлера-Фурье:
(2.12) Формулы (2.10) получаются из (2.12) при l=π.