Филичев П.В. Математика для электромехаников / filichev / lecture01

Синусоидально изменяющиеся величины и их характеристики Синусоидально изменяющиеся величины и их характеристики

Любую гармонически изменяющуюся во времени величину можно представить в виде функции

,

где Im – амплитуда этой функции, T – ее период, ω – круговая частота и φ – сдвиг фазы. График такой функции выглядит следующим образом.

В электротехнике для оценки гармонических функций (в данном случае тока) используются следующие характеристики.

Среднее значение

Действующее, эффективное, среднее значение тока по тепловыделению

Поскольку операции с гармоническими функциями в явном виде весьма затруднительны, на практике используется представление синусоидально изменяющихся функций в виде вектора на комплексной плоскости. Исходную функцию времени называют оригиналом, а вектор на комплексной плоскости – ее изображением. Для получения изображения гармонической функции на комплексной плоскости используют формулу Эйлера.

(1.1) Если разложить эту формулу в ряд Тейлора, то получим

Абсцисса суммы на комплексной плоскости равна:

Ордината суммы равна

Из (1.1) следует, что

(1.2) Из (1.1) и (1.2) следует, что , а

Из (1.1) следует, что .

На комплексные степени положительных чисел распространяются все правила действия со степенями.

Вместо ejφ возьмем функцию:

Пусть , тогда

В этом случае исходная функция времени

,

т.е. представляет собой мнимую часть комплексного числа или проекцию вектора Imej(ωt+φ) на ось +j.

Этот вектор принято отображать при ωt = 0, при этом:

называют комплексом амплитуды тока или вектором амплитуды тока на комплексной плоскости. Чтобы отличить комплексную величину от действительной, над буквой ставится точка. Рассмотрим некоторые примеры преобразования функции времени в изображение на комплексной плоскости и обратно.

Пример 1.

Пример 2.

На практике работают с комплексами действующих значений тока. Для этого достаточно разделить изображение амплитуды на .

В качестве упражнения найдите комплекс тока (не путать с комплексом амплитуды) для примеров выше.

Сложение и вычитание синусоидальных функций

Пусть имеются две гармонические функции

и .

Требуется найти функцию i = i1 + i2, которая будет представлять собой гармоническую функцию с той же частотой.

Найдем изображения исходных функций на комплексной плоскости:

После перехода от функции времени к изображениям – комплексным числам математические операции с ними становятся намного проще. Для сложения и вычитания, как правило, используется алгебраическая форма комплексных чисел, а для умножения, деления, возведения в степень и т.п. – показательная форма.

Переход от алгебраической формы комплексного числа к показательной

Примеры перевода из алгебраической формы в показательную