РГР Интегралы
.docТеоретический вопрос
I. Интегрирование выражений R(sinx, cosx)
Пусть R(u,v) — рациональная функция двух переменных. Положим u = sin< var>x и v = cos x . Получится функция f(x) = R(sin x, cos x) . Она имеет период 2π . Поэтому ее первообразные достаточно найти на интервале ( −π, π) .
Интеграл от функции R(sinx, cosx) с помощью подстановки всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной t. Поэтому он выражается через элементарные функции .
Подстановка (1) называется универсальной.
Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) имеет специальный вид, то можно применить методы, требующие меньше преобразований, чем при использовании универсальной подстановки.
1. Если R(u, v) нечетна относительно v , то существует рациональная функция Rs(u, v)
R(u, v) = Rs(u, v2) · v .
Поэтому
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = ∫ Rs(sin x, cos2x) cos x dx . |
|
Подводя cos x под знак дифференциала, получаем
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = ∫ Rs(sin x, cos2x) dsin x . |
|
Очевидно, что замена переменной t = sin x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = ∫ Rs( t, 1 − t2 ) dt при t = sin x . |
|
2. Если R(u, v) нечетна относительно u , то существует рациональная функция Rs(u, v) , такая что
R(u, v) = Rs(u2, v) · u .
Поэтому
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = ∫ Rs(sin2x, cos x) sin x dx . |
|
Подводя sin x под знак дифференциала, получаем
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = − ∫ Rs(sin2x, cos x) dcos x . |
|
Очевидно, что замена переменной t = cos x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = − ∫ Rs(1 − t2, t) dt при t = cos x . |
|
3. Если R(u, v) = R( − u, − v) , то существует рациональная функция Rs( · ) одной переменной, такая что R(u, v) = Rs(u / v) . Поэтому
|
|
∫ R(sin x, cos x) dx = ∫ Rs(tg x) dx . |
|
Функция Rs(tg x) периодична с периодом π . Поэтому допустима подстановка
|
|
x = arctg t t = tg x x О ( −π / 2, π / 2 ) t О ( −∞, +∞) |
|
II. Интегрирование выражений sin2mx · cos2nx
Интегралы вида
|
|
∫ sin2mx · cos2nx dx, |
|
где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:
III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) , sin (αx) · cos (βx) , cos (αx) · cos (βx) .
При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы.
Расчетные задания
Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл.
Задача 3. Найти неопределенный интеграл.
Задача 5. Вычислить неопределенный интеграл.
Задача 6. Вычислить неопределенный интеграл.
Задача 10. Вычислить определенный интеграл.
Задача 13. Вычислить определенный интеграл.
=