- •Структура педагогического эксперимента
- •Проблемы измерения и виды шкал Виды шкал
- •Типы данных.
- •Правила ранжирования.
- •Описательные статистики. Меры центральной тенденции
- •Меры изменчивости.
- •Первичное описание исходных данных
- •Характеристики рассеивания
- •Корреляционное отношение
- •Коэффициент вариации
- •Доверительный интервал
- •Ранговые корреляции и взаимосвязи в педагогических экспериментах
- •Коэффициент корреляции Пирсона
- •Корреляционные матрицы и графы
Коэффициент корреляции Пирсона
Для определения корреляционной зависимости между двумя случайными величинами используют коэффициент корреляции Пирсона. Заметим, что понятие корреляции является одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики; оно было введено Гальтоном и Пирсоном.
Рассмотрим пример распределения оценок, для которого использование коэффициента Спирмена нецелесообразно.
ученик |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
ЕГЭ по физике |
98 |
40 |
39 |
39 |
35 |
ЕГЭ по математике |
92 |
94 |
83 |
80 |
55 |
В указанной таблице имеет место «скачок» в оценках по физике, выраженный в сильном различии оценок первого и второго учеников. Разница между этими оценками существенна и порождает неравномерность распределения оценок.
В подобных случаях рекомендуется применять выборочный коэффициент корреляции r Пирсона. Для его расчёта необходимо найти особую величину k(X,Y), называемую ковариацией.
Пусть величина X принимает значения x1, x2, …, xn, а величина Y – y1, y2, …, ym. Тогда можно найти выборочную среднюю для величины X и выборочную среднюю для величины Y. Если nij – это частота, с которой встречается в полученных выборках xi и yj, а n – объём выборки ( ), то ковариация k(X,Y) вычисляется по формуле:
Для малых выборок ковариацию удобно находить с помощью ковариационного графа, для построения которого необходимо вычислить выборочные средние для величин X, Y и относительные частоты . Ковариационный граф имеет вид:
Таким образом, ковариацию k(X,Y) можно находить как вес всего ковариационного графа. Заметим, что по корреляционному графу удобно находить и дисперсии случайных величин, которые также необходимы для вычисления коэффициента корреляции Пирсона.
Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:
Для иллюстрации использования коэффициента корреляции и применения ковариационного графа рассмотрим пример. В выпускном классе проводились контрольные работы по физике и математике, которые дали следующие результаты:
|
«2» |
«3» |
«4» |
«5» |
«2» |
1 чел. |
2 чел. |
1 чел. |
- |
«3» |
1 чел. |
4 чел. |
2 чел. |
- |
«4» |
- |
1 чел. |
3 чел. |
4 чел. |
«5» |
- |
1 чел. |
3 чел. |
2 чел. |
Определим характер и силу связи между оценками в проведенных работах. Для этого найдём выборочную ковариацию и коэффициент корреляции.
Объём выборки равен n=25, т.к. контрольные работы писали 25 человек (сумма всех данных в таблице).
Пусть X – это оценки по физике, а Y – оценки по математике. Тогда по имеющейся таблице составим две таблицы (по строкам и столбцам) для нахождения выборочных средних.
По физике (величина X):
Оценка |
«2» |
«3» |
«4» |
«5» |
Количество чел. |
4 |
7 |
8 |
6 |
По математике (величина Y):
Оценка |
«2» |
«3» |
«4» |
«5» |
Количество чел. |
2 |
8 |
9 |
6 |
По данным таблицам находим выборочные средние:
После этого можно составить ковариационный граф.
Из построенного графа находим ковариацию:
По корреляционному графу находим и выборочные дисперсии: D(X)=(-1,64)2(0,04+0,08+0,04)+(-0,64)2(0,04+0,16+0,08)+ +(0,36)2(0,04+0,12+0,16)+(1,36)2(0,04+0,12+0,08)=1.03, аналогично вычисляем дисперсию D(Y)=0.82.
Поэтому Таким образом, между оценками по физике и математике в данной выборке существует прямая связь средней силы.
Ранговая корреляция Спирмена и выборочный коэффициент корреляции позволяют нам определить характер и силу связи для двух измеряемых величин. Но на практике педагогические и психологические эксперименты зачастую производят измерения большего количества величин. Например, тестирование учащихся может проводиться по таким параметрам, как трудолюбие, усидчивость, память, качество речи и т.д. Для того чтобы узнать, каким образом связаны все эти качества, можно использовать два следующих метода:
1.Рассматривают попарные связи и иллюстрируют их на корреляционных матрицах или корреляционных графах;
2.Находят множественный коэффициент ранговой корреляции – коэффициент конкордации.