Элементы математической статистики

Элементы математической статистики

Для педагога очень важно уметь анализировать результаты своей профессиональной деятельности, а также грамотно планировать и проводить психолого-педагогические эксперименты, обрабатывать их результаты.

Специфика статистической обработки результатов психолого-педагогических исследований заключается в том, что анализируемая база данных характеризуется большим количеством показателей различных типов, их высокой вариативностью под влиянием неконтролируемых случайных явлений, необходимостью учета объективных и субъективных факторов, сложностью корреляционных связей между переменными выборками.

Структура педагогического эксперимента

Педагогический эксперимент, или формирующий эксперимент, — это специфический исключительно для педагогики вид эксперимента, в котором активное воздействие экспериментальной ситуации на испытуемого должно способствовать его развитию и личностному росту.

Педагогический эксперимент требует очень высокой квалификации со стороны экспериментатора, так как неудачное и некорректное использование методик может привести к негативным для испытуемого последствиям.

В ходе такого эксперимента предполагается формирование определенного качества (именно поэтому он еще называется "формирующий"). Можно выделить множество различных педагогических экспериментов. Однако, большинство из них имеют общую структуру. Как правило, в эксперименте участвуют две группы: экспериментальная и контрольная. Необходимо, чтобы до проведения эксперимента обе группы несущественно отличались по исследуемому признаку. Участникам экспериментальной группы предлагается новый метод обучения (воспитания) или определенное задание, которое (по мнению экспериментаторов) будет способствовать формированию заданного качества. Контрольной группе испытуемых данное задание не предоставляется и обучение ведется традиционным способом. В конце эксперимента две группы снова сравниваются между собой для оценки полученных результатов.

Важно не только зафиксировать и сравнить полученные результаты, но и обосновать их, доказать неслучайность и значимость полученных различий. Как правило, установить связь между воздействием на испытуемого и полученным результатом, а также обосновать эффективность (или неэффективность) проведенного эксперимента помогают инструменты математической статистики.

Большинство педагогических исследований призвано ответить на вопрос, верно ли сделанное исследователем предположение, подтверждается ли выдвинутая им гипотеза. Наиболее привлекательным с точки зрения эффективности и целесообразности методом психолого-педагогического исследования является опыт. Однако, сами результаты опыта, как правило, не позволяют нам сделать чётких и научно обоснованных выводов о справедливости (или ложности) выдвинутой гипотезы. Проанализировать результаты опыта и сделать полезные выводы помогают математические методы исследования.

Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Статистическое наблюдение – это работа по сбору массовых первичных данных.

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. Вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Следующей задачей, является проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков.

Случайная величина – это величина, которая в результате каждого опыта принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Будем обозначать случайные величины латинскими буквами X, Y, Z, …

Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина – это случайная величина, которая может принимать не более чем счетное (то есть либо конечное, либо счетное (можно занумеровать)) множество значений. Примеры дискретных случайных величин:

• число попаданий в мишень при n выстрелах (возможные значения от 0 до n);

• число выпавших гербов при n бросаниях монеты (возможные значения от 0 до n);

• число выпавших единиц при n бросаниях кубика (возможные значения от 0 до n);

• число прибывших самолетов в аэропорт (счетное множество значений);

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Примеры дискретных случайных величин:

• время безотказной работы прибора;

• отклонение точки падения снаряда от цели;

• температура воздуха на улице;

• время решения задачи.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Значения	x1	x2	…	xn
Вероятности	p1	p2	…	pn

p₁ + p₂ + … + p_n = 1

Пример. Случайная величина X – это число выпавших очков при бросании кубика. Возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их вероятности равны 1/6. Закон распределения вероятностей данной случайной величины для правильного кубика:

Значения	1	2	3	4	5	6
Вероятности	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно M(X) = .

Свойства математического ожидания M(X):

1. M(X) заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины.

2. Если X = C = const (постоянная), то М(С) = С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С*М(Х).

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий М(Х+Y) = M(X) + M(Y).

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий М(Х*Y) = M(X) * M(Y).

Пример. Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины из предыдущего примера.

М(Х) = 1*1/6 +2*1/6 +3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 3,5

Видим, что М(Х) заключено между наименьшим (1) и наибольшим (6) значениями случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины X равна:

(x_i – M(X))²,

где M(X) – это математическое ожидание случайной величины X.

Свойства дисперсии D(X):

1. Всегда D(X) ≥ 0.

2. Если X = C = const (постоянная), то D(С) = 0.

3. D(СХ) = С²*D(Х), где С = const.

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме их дисперсий D(Х+Y) = D(X) + D(Y).

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D(Х-Y) = D(X) + D(Y).

Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным.

Часто проводить сплошное обследование, когда изучаются все объекты (например — перепись населения), трудно или дорого, а иногда невозможно. Поэтому обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Выборка должна быть сформирована случайным образом (например, по таблице случайных чисел). Таблица случайных чисел представляет собой последовательность цифр в виде таблицы, в которой каждая из цифр от 0 до 9 встречается независимо друг от друга с вероятностью 0,1. Также выборка должна быть репрезентативной, то есть давать правильное представление о генеральной совокупности. Примером выборки является любой социологический опрос.

В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n, то есть число элементов выборки равно n. Каждое наблюдаемое в выборке значение x_i, i=1,…,k, называется вариантой.

Частота n_i – это число наблюдений значения x_i в выборке. Относительная частота f_i – это отношение частоты n_i к объему выборки: f_i = n_i/n.