22 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Пусть надо вычислить
,
где f(x)
непрерывная на [a,b]
функция. Положим
.
Причем функцию
наложим условие.
должна быть непрерывна на промежутке
1)
2)
3)
на
Тогда справедлива формула
(1)
Т.к. по предположению подынтегральная функция непрерывна , то существует и соответствующие неопределенные интегралы слева и справа в (1) и можно воспользоваться основной формулой (*).
Причем, если F(x)-
первообразная функции f(x),
то
,
то первообразная
.
Замечание. В отличие от замены в неопределенном интеграле, здесь не надо возвращаться к первой переменной x. Т.к., если вычислим второй интеграл по t, представляют собой число, то тем самым вычислим и первый интеграл.
Интегрирование по частям.
23 Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление площадей.
а)
и непрерывна, тогда площадь криволинейной
трапеции
б)
x=a, x=b и
y=f(x), y=g(x);
на
[a,b]
Замечание :
в) Пусть кривая задана параметрическим уравнением.
В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому при вычислении площади делаем замену, что бы свести к известным формулам.
x(t)-убывает
Пример (Вычислить площадь фигуры)
Вычисление площади в полярной системе координат.
Если
линия, ограничивающая фигуру, задана
в полярной системе координат, то в
качестве основной фигуры принимает
криволинейный сектор, то есть фигуру
ограниченную
и графиком
Разобьем
(а
вместе с ним и весь сектор)на частичные
сектора
Каждый частичный
сектор заменим круговым сектором. То
есть будем считать, что на каждом из
частичных промежутков
функция
изменится
мало и приблизительно равна
Тогда, площадь
фигуры, состоит из круговых секторов,
каждый из которых имеет площадь
,будет равна
.
Устремив
и
переходя к пределу, получаем
24 Приложения определенного интеграла: вычисление объемов
а) Вычисление объема тела по площадям поперечного сечения.
Рассмотрим тело(V), заключенное между плоскостями x=a, x=b.
Разобьем промежуток [a,b] на частичные промежутки, то есть тело разобьется на слои, параллельные плоскостям x=a, x=b.
Возьмем произвольную
и
через
,
обозначим площадь сечения тела V
плоскостью
.
Сделаем следующие предположения:
1) При проецировании любых двух сечений друг на друга вдоль оси x, хотя бы одно из них проецируется на другое (внутрь другого).
2) Все сечения имеют
в качестве площади непрерывную функцию
f(x).
Тогда объем слоя соответствует
выделенному сечению, будет равен
.
Где
- толщина слоя. Что бы получить объем
всего тела, суммируем по слоям и перейдем
к пределам.
б) Пусть на [a,b], непрерывна на замкнутой прямой. Вращением кривой y=f(x) получим, некоторое тело.
Полученное тело
вращения будет подходить по рассматриваемый
в a)
случай. Т.к. сечение этого тела проецируется
на перпендикулярную плоскость в виде
кругов. Разбиваем [a,b]
на частичные промежутки в каждом из
которых, выбираем точку
.
Сечения этого тела плоскостями
будут представлять собой круги радиуса
.
Поэтому
суммируются по всем частям промежутка
и переходя к пределу получаем, что
