5 Интегрирование простейших рациональных дробей 1,2,3 типов.

6 Интегрирование простейших рациональных дробей 4 типа.

4)

, - рекуррентная формула позволяющая свести нахождение интеграла , после (к-1) шагов к нахождению табличного интеграла.

7 Интегрирование рациональных дробей.

1) Интегрирование правильных рациональных дробей m<n

Для интегрирования таких дробей многочлен стоящий в знаменателе разлагаем на действительные множители типа: х-а, или , причем множители второго типа не разложимы, тогда разложение

Теорема: всякую правильную рациональную дробь , разложен на множители в виде (1) можно представить в виде простых дробей в виде: Теорема утверждает, что разложение (2) возможно, но точных значений коэффициентов не даёт. Для практического нахождения этих коэффициентов можно поступить следующим образом:

1) Метод «неопределенных коэффициентов»

В разложении (2) дроби справа приводятся к общему знаменателю (такому же, как и слева), т.к. дроби слева и справа равны, при равных знаменателях, то должны быть равны и их числители, т.к. в числителях стоят многочлены степени не больше чем n-1 то получим n линейных алгебраических уравнений (приравнивая коэффициенты при равных степенях) для нахождения n неизвестных коэффициентов . После нахождения коэффициентов правильную рациональную дробь можно проинтегрировать как сумму простых дробей.

2) Метод «придания конкретного значения»

Задаём из которого возможно найти один из коэффициентов. Имеет смысл применять при наличии множителя первого типа

3) Комбинированный метод

Часть переменных находится по первому способу, часть по второму.

2) Интегрирование произвольных рациональных дробей

Всякая рациональная дробь, представленная в виде , причем, если , то дробь

не правильная, в этом случае необходимо выделить целую часть, после чего дробь

можно записать в виде: , т.о. образом рациональная дробь

интегрируется в любом случае в конечном виде, причем в результат войдут только

рациональные дроби, логарифмы и .

8 Интегрирование иррациональных функций.

1) Интегрирование дробей вида

Любой интеграл такого вида рационализируется с помощью подстановки

2) Интеграл

, тогда интеграл станет рациональной функцией

9 Интеграл от дифференциального бинома.

Интеграл от биноминального дифференциала

- биноминальный дифференциал, где

1) Пусть , тогда интегрирование можно производить согласно предыдущему пункту, т.е. если обозначит через знаменатель дробей m, n то придём к рациональной функции

2) Преобразовываем выражение (1) подстановкой , тогда , , . Выражение (1) примет вид

Если целое число, то приходим к интегралу от рациональной функции

3) Перепишем выражение (2) в следующем виде:

Если (p+q) целое то имеет случаи 1 и 2, тогда подынтегральное выражение рационализуется , где s- знаменатель дроби p.

Вывод: итак, интеграл (1) выражается через элементарные функции только в следующих 3 случаях:

1) p- целое, тогда интеграл подходит из пункта 1

2) p- не целое, но - целое, , где s- знаменатель дроби p.

3) p- не целое, - не целое, но целое,