12. Физический смысл компонент тензора деформаций
Те́нзор деформа́ции — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации.
Тензор деформации
Коши-Грина в классической сплошной
среде (частицы которой являются
материальными точками и обладают лишь
тремя трансляционными степенями свободы)
определяется как
где
— вектор, описывающий смещение точки
тела: его координаты — разность между
координатами близких точек после (
)
и до (
)
деформации. Дифференцирование производится
по координатам в отсчетной конфигурации
(до деформирования). Расстояния до и
после деформации связаны через
:
(по
повторяющимся индексам ведётся
суммирование).
По определению тензор
деформации симметричен, то есть
.Выясним физический
смысл компонент тензора деформаций
. Пусть деформация происходит только в
направлении x, тогда ,
Нетрудно увидеть, что
представляет собой удлинение при
растяжении отрезка
, спроецированное на ось x. Аналогично
,
;− соответственно растяжения отрезка
, спроецированные на оси y и z. Компоненты
и
определяют поворот линейного элемента,
параллельного оси x: в первом случае –
вокруг оси z в сторону y (против часовой
стрелки), а во втором – вокруг оси y в
сторону оси z (против часовой стрелки).
Поскольку
, то с учетом того, что при деформации
отрезок
удлиняется на
, получим
, где q - угол поворота линейного элемента.
Из условия малости смещений следует,
что u, v и w малы по сравнению с x, а,
следовательно,
и
малы относительно
. Тогда для угла поворота линейного
элемента можно записать приближенное
равенство
.
Компонента
определяет поворот линейного элемента,
параллельного оси y вокруг оси z в
направлении x (по часовой стрелке);
− поворот линейного элемента вокруг
оси y в направлении оси x (по часовой
стрелке). Компоненты
и
определяют повороты вокруг оси x в
первом случае в направлении оси y (по
часовой стрелке), во втором – в направлении
z (против часовой стрелки).
Определим суммарный,
или полный, сдвиг, происходящий, например,
в плоскости xy. Пусть в недеформированном
теле мы имеем квадрат OABC (рис. 4.9). Под
действием касательных напряжений он
превращается в ромб OA/B/C/. При этом сторона
ОА поворачивается по часовой стрелке
на угол
, а сторона ОС – против часовой стрелки
на угол
.
Обозначим через U смещение точки, расположенной на стороне ОА, а через V – точки, расположенной на стороне ОС.
Рис. 4.9. Суммарная сдвиговая деформация под действием касательных напряжений [74]
Поскольку смещение
V зависит от координаты x и пропорционально
ей, то
, а
. Следовательно, в плоскости xy суммарный
сдвиг будет равен
Аналогично
,
Теперь, когда выяснен
смысл компонент деформации, можно
составить тензор деформации, который
определяет деформированное состояние
в данной точке тела. Для того чтобы
определить собственную деформацию
тела, обычно тензор делят на симметричную
и антисимметричную части. Антисимметричная
часть
описывает вращение тела как целого.
Симметричная часть
соответствует собственно деформации
тела. Тензор деформации является
симметричным тензором второго ранга и
содержит девять компонент. Однако только
шесть из них независимы, поскольку
компоненты, симметричные относительно
главной диагонали, равны между собой
.
Диагональные компоненты
описывают удлинение или сжатие, остальные
шесть
- компоненты деформации сдвига.
Например, до деформации
угол между осями x и y был
, после он становится
, т. е. тензорная компонента деформации
сдвига равна половине изменения угла
между указанными элементами. Симметричный
тензор деформации можно привести к
главным осям, т. е. к осям, остающимся
после деформации взаимно перпендикулярными
Одинаковой особенностью тензоров напряжений и деформаций является то, что они зависят не только от самого тела, но и от воздействия на него. Так, тензор напряжений характеризует силы, действующие на тело, а тензор деформаций – реакцию тела на воздействие. Поэтому оба тензора не обязательно согласовываются с симметрией тела. Такие тензоры называют полевыми.