Системы счисления.

Система счисления (СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,:,9 (вероятно потому, что пальцев на руках 10 и раньше считали на пальцах). Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами.

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. 

• Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). 

• Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления).

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, рав­ное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система неэффективна, так как фор­ма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, сим­волы алфавита которой и обозначаемое ими количество представ­лены в табл. 1.

Таблица 1

Римские цифры	I	V	X	L	С	О	М
Значение (обозначаемое количество)	1	5	10	50	100	500	1000

Запись чисел в этой системе счисления осуществляется по сле­дующим правилам:

1. если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 — 1=4, ХL: 10 < 50, следовательно, 50 — 10 =40);

2. если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VI: 5+1=6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX: 10+10 = 20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид МСМIХIV (М — 1000, СМ — 900, IX — 60, IV — 4), здесь «девять­сот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» — посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» — посредством вычитания из «пяти» «единицы».

В общем случае непозиционные системы счисления характери­зуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распро­страненные системы счисления относятся к разряду позиционных.

Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными:

• удобство выполнения арифметических и логических операций,

• представление больших чисел,

Поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.

Конкретное значение числа в позиционной системе определяется не только его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа. Примером такой системы счисления является привычная нам десятичная система счисления. Эта система использует десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления. Например, число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:

1*10³ + 9*10² + 010¹ + 9*10⁰

Запись чисел осуществляется справа налево. Крайняя справа цифра означает ЕДИНИЦЫ, та же цифра, смещенная на одну позицию влево, означает уже ДЕСЯТКИ, еще левее - СОТНИ и т.д.:

6421 = 6*10³ + 4*10² + 2*10¹ + 1*10⁰

тысячи сотни десятки единицы

Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа..

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием  q  означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где  a_i  — цифры системы счисления; q – основание СС,   n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

В компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, то есть описываемым наборами только из двух знаков – 0 и 1.

Использование двоичной системы в компьютерах объясняется тем, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Цифра двоичной системы счисления хранится в элементарной ячейке памяти, называемой битом. Бит – это наименьшая единица измерения количества информации, известная в природе (да-нет).

Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов в памяти компьютера. Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все выключены" (00000000) до "все включены" (11111111). По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево, как это показано в таблице:

Номера битов:	7	6	5	4	3	2	1	0
Значения битов:	0	1	0	0	0	0	0	1

Двоичная система счисления является позиционной, а соответственно значение двоичного числа определяется позицией каждого бита. В общем виде число в двоичной системе счисления представляется в форме:

X = a_n*2ⁿ + a_n-1 *2^n-1 + ... + a₁ *2¹ + a₀ *2⁰ a_i принадлежат 0,1

Двоичное число не ограничивается только восьмью битами. В зависимости от архитектуры компьютера, он оперируют 16-битными, 32-битными, 64-битными представлениями чисел.