Многочлен Лагранжа

Относится к глобальной интерполяции, т.е. построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка . При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Для нахождения коэффициентов уравнения (2.4) необходимо составить и решить систему из уравнений с неизвестными

(2.7)

Такой путь построения интерполяционного многочлена требует значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов.

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n

(2.8)

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции за исключением одного і-го, где он должен раняться 1. Этим условиям отвечают многочлены вида

(2.9)

Подставляя (2.9) в (2.8) получаем формулу, которая называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Для упрощения вычислений по формуле Лагранжа используется специальная схема рассматриваемая на с.532 Демидович, Марон «Вычислительная математика», изучить самостоятельно.

Многочлен Ньютона

Также как и многочлен Лагранжа относится к глобальной интерполяции и имеет вид

(2.10)

Задача состоит в определении коэффициентов . Для чего воспользуемся формулой (2.3) и (2.10)

,

что получило название разделенной разности первого порядка. В общем виде

(2.11)

отсюда после преобразований

В общем виде

(2.12)

что называется разделенной разностью 2-го порядка.

Аналогично получаем , что позволило ввести понятие разности n-го порядка

(2.13)

Тогда с учетом формул (2.11), (2.12), (2.13) многочлен Ньютона (2.10) примет вид, который называется многочленом Ньютона с разделенными разностями или многочленом Ньютона для не равноотстоящих узлов

(2.14)

Что касается разделенных разностей, то их рассматривают как обобщенное понятие производной.

При использовании формулы Ньютона удобно расчеты разделенных разностей представить в виде таблицы.

Разделенные разности

х	У	1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка

До сих пор не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполирования.

Теперь рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т.е.

h- называется шагом интерполирования.

В этом случае формула (2.11) имеет вид

, (2.15)

где - называют конечной разностью первого рядка.

Формула (2.12) примет вид

(2.16)

где - конечная разность 2-го порядка.

Аналогично для формулы (2.13) имеем

(2.17)

где - конечная разность n-порядка.

С учетом формулы (2.15)-(2.17) формулу (2.14) можно переписать в виде

(2.18)

Полученное выражение может аппроксимировать (интерполировать) функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа членов в (2.18)) ограничиться случаем, когда . Для других значений аргумента, например, для вместо лучше взять значение .

Формула (2.18) получила название первого интерполяционного многочлена Ньютона для интерполирования вперед ее обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка .

Для правой половины отрезка лучше воспользоваться вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад

(2.19)

Как первая, так и вторая формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т.е. нахождения значений функции y для значений аргументов х, лежащих вне пределах таблицы. Если и , то удобно использовать формулу Ньютона, которую уже можно назвать для интерполирования вперед и экстраполирования назад.

Если и , то удобно использовать вторую формулу Ньютона, которую тогда называют для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Естественно, что операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполирования.

Процесс вычислений по 1-й или 2-ой формулам Ньютона удобно свести в горизонтальную таблицу конечных разностей.