Основні аналітичні властивості розв'язків задач лінійного програмування
Вектор
,
координати якого задовольняють системі
обмежень (2.2) і (2.3), називають допустимим
розв'язком,
або допустимим
планом задачі.
Сукупність допустимих розв'язків
(планів) задачі утворює область
допустимих розв'язків задачі.
Опорним планом задачі лінійного програмування називається план, утворений координатами вершини многогранника планів задачі. Отже, опорний план — це план, який задовольняє не менш ніж п лінійно незалежних обмежень (2.2) у вигляді строгих рівностей разом з обмеженням (2.3) щодо знака.
Опорний план називається невиродженим, якщо він є вершиною многогранника планів задачі, утвореного перетином точно п гіперплощин, тобто задовольняє п лінійно незалежних обмежень — строгих рівностей. У противному разі опорний план є виродженим.
Якщо задача лінійного програмування має розв'язок і серед її планів є опорні, то хоча б один із них буде оптимальним.
Сукупність усіх розв'язків задачі лінійного програмування є многогранною опуклою множиною, яку називають многогранником розв'язків.
Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин многогранника розв'язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього многогранника, то вона досягає його і в будь-який точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.
21. Знаходженння розв’язку злп. Алгоритм симплексного методу.
Для розв'язув-я двовимірних ЗЛП, використ-ь графічний та симплексний методи. Графічний метод грунт-я на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях ЗЛП. Розв'язати ЗЛП графічно означає знайти таку вершину многокутника розв'язків, у результаті підставл-я координат якої в цільову функцію, вона набуває найб. (найм.) знач-я. Алгоритм графічного методу: 1.будуємо всі півплощини, які склад-ь допустиму область задачі. 2.знаходимо перетин цих всіх півплощин - будуємо допустиму область. 3.будуємо градієнт N, що задає напрям зрост-я значень цільової функції. 4.через допустиму область проводимо довільну пряму, перепендикулярну градієнту N і рухаємо в напрямі градієнта (для задачі на маx) до тих пір, поки вона останній раз не перетне допустиму область. Чи навпаки (для задачі на мін.) рухаємося у напрямку антиградієнта до тих пір, поки пряма останній раз не перетне допустиму область. 5.візуально визнач-о opt. розв’язок. 6. для знаходж-я точного розв’язку складаємо відповідну систему і розв’язуємо її. Симплекс-метод - поетапна обчисл-на процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпш-я значень цільової функції переходом від одного опорного плану ЗЛП до іншого. Алгоритм симплекс методу: 1.побудова початкового опорного плану. 2.побудова симплексної таблиці. 3.перевірка опорного плану на оптимальність за допом-ю оцінок j. Якщо всі оцінки задовол-ь умову опитимал-і, то план є opt. Якщо не задовольняють - переходимо до кроку 4. 4.побудова нового опорного плану задачі - викон-я визнач-я розв'язув-го елемента та розрахунок нової симплексної таблиці. Перехід на крок 3. 5.повтор-я дії до тих пір, поки не знайдеться opt. план.