22. Симплекс-метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.

Існують випадки, коли у системі обмежень немає необхідної кількості одиничних незалежних векторів. Тоді для побудови першого опорного плану застосовують метод штучного базису. Ідея його полягає в тому, що відсутні одиничні вектори можна дістати, увівши до відповідних обмежень деякі змінні з коефіцієнтом +1, які наз. штучними. У цільовій функції ЗЛП штучні змінні мають коеф +М (для задачі на мін) -М (для задачі на макс) М - дуже велике число. Визначені вектори утворюють базис, і змінні, що їм відповідають наз. базисними, всі інші змінні - вільними. Їх прирівн-ь до нуля та з кожного обмеж-я задачі визнач-ь знач-я базисних змінних. До ЗЛП зі штучним базисом застосов-я симплекс-метод. Необхідною умовою оптимальності є вимога, щоб у процесі розв’язування задачі всі штучні змінні були виведені з базису і дорівнювали нулю. Зв'язок між opt. розв’язком ЗЛП і ЗЛП зі штучним базисом: 1.Якщо задача зі штучним базисом не має розв’язків, то початкова ЗЛП не має opt. розвязку. 2.Якщо задача зі штучним базисом має opt. розвязок і всі штучні змінні = 0, то цей opt. розвязок буде opt. розв’язком початкової ЗЛП. 3. Якщо задача зі штучним базисом має opt. розвязок і хоча б одна штучна змінна ≠ 0, то початкова задача не має opt. розвязок.

24. Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряженних задач лп.

Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста, що формується за допомогою певних правил безпосередньо з умови прямої задачі.

Якщо пряма задача лінійного програмування має вигляд

то двоїста задача записується так:

за обмежень

Порівнюючи ці дві сформульовані задачі, доходимо висновку, що двоїста задача лінійного програмування утворюється з прямої задачі за такими правилами.

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїс­тої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїс­тої задачі, причому кількість обмежень дорівнює кількості неві­домих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі — на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних в цільовій функції двоїстої за­дачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних в цільовій функції прямої задачі.

6. Матриця

що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів в системі обмежень двоїстої задачі

утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною ряд­ків стовпчиками, а стовпчиків — рядками.

25. Екон. Зміст двоїстої задачі (дз) й двоїстих оцінок.

Екон. зміст ДЗ полягає у визнач-і такої opt. системи двоїстих оцінок ресурсів у_і використав-их для вир-ва продукції, для якої заг. вартість усіх ресурсів буде найменшою. Оскільки змінні ДЗ означ-ь цінність одиниці i-того ресурсу, їх інколи ще наз тіньовою ціною відповідного ресурсу. За допом-ю двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виготовляється. Ресурси, що використов-я для вир-ва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використ-я передбачене opt. планом. Якщо двоїста оцінка y_i в opt. плані ДЗ=0, то відповідний i-тий ресурс використов-я не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка y_i > 0, то i-й ресурс використов-я для opt. плану вир-ва продукції повністю і наз дефіцитним. Рентабельність кожного виду продукції можна визначити таким чином: 1)підставивши У* у систему обмежень ДЗ. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищу ціну цієї продукції (права частина), то вир-во такої продукції для підпр-ва недоцільне-продукція нерентабельна. Якщо ж співвіднош-я виконується як рівняння, то продукція рентабельна; 2)проаналізувавши двоїсті оцінки додаткових змінних, значення яких показ-ь, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна ДЗ=0, то продукція рентаб-а і навпаки.