18 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона.

Предположим, что у нас определено начальное приближение х₀ к одному из корней уравнения (2.1). Тогда в точке х₀ можно вычислить левую часть решаемого уравнения .

В общем случае для k-го шага итерационного процесса последнее соотношение принимает вид: (2.2)

Из формулы (2.2) вытекает необходимость вычисления значения производной функции в каждой точке. Процесс нахождения корня может считаться законченным, когда модуль отношения значения функции в точке x_k к ее производной меньше заданной величины погрешности , т.е. когда выполняется следующее условие:

(2.3)

Таким образом, для реализации метода Ньютона необходимо:

Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить.

Определить первую производную функции в аналитическом виде.

Определить начальное приближение х₀, обеспечивающее быструю сходимость метода.

Задать точность нахождения корня уравнения .

Реализовать в программе итерационную процедуру, реализующую формулу (2.2).

19 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод секущих.

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х₀ и х₁.

(2.4)

Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона (2.2) заменой производной выражением (2.4) и записана в виде: (2.5)

Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления.

Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие: (2.6)

Таким образом, для реализации метода секущих необходимо:

1. Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить.

2. Определить начальные приближения х₀ и х₁, обеспечивающие быструю сходимость метода.

3. Задать точность нахождения корня уравнения .

4. Реализовать в программе итерационную процедуру, реализующую формулу (2.5).

20 Численные методы простых итераций.

Предположим, что уравнение (1) при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду (2):

Пусть известно начальное приближение к корню , тогда подставим его в правую часть уравнения (2) и получим новое приближение (3):

(3)

Затем аналогичным образом получим и т.д.:

(4)

Заметим: тот факт, что корень уравнения , означает, что есть абсцисса точки пересечения графика с прямой .

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс будет сходиться к корню уравнения .

Рассмотрим процесс графически (рисунок 1).

Рисунок 1

Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы.

Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной функции . Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически.

Будем считать, что в итерационной формуле (4)

(5)

где , - отклонения k и k+1приближения к корню. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (4) примет вид (6):

(6)

но так как является корнем уравнения, то и, следовательно (7),

(7)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие (8)

(8)

или

Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1) к уравнению (2).

Умножим левую и правую части уравнения (1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся (9):

(9)

Введем обозначение (10)

(10)

и перейдем от соотношения (9) к уравнению (2).

Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (8). Желательно выбрать величину такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней. В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса (11)

(11)

где - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция выбрана в виде (1.33), то производная по от этой функции будет (12)

(12)

Наибольшую скорость сходимости получим при , тогда

и итерационная формула (4) переходит в формулу Ньютона (13)