Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где   — амплитуда колебаний маятника,   — начальная фаза колебаний,   — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Незатухающие механические колебания. Пружинный маятник.

1.1. Свободные незатухающие колебания пружинного маятника

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой   и невесомой пружины жесткостью 

Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины. (см. рис. 1.1.1)

Рис. 1.1.1

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

(1)

Преобразуем выражение (1) к виду

Введем обозначение   (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим

(2)

Выражение (2) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

Решение уравнения (2) будем искать в виде:

(3)

Подставим (3) в (2) получим

Из полученного выражения найдем значения   :

(4)

где  Тогда

Чтобы найти   и   воспользуемся начальными условиями, т.е. необходимо знать значение координаты и скорости в начальный момент времени. Пусть

Тогда с учетом этого и выражения (3) получим следующее

Откуда 

Подставим постоянные интегрирования в выражение, получим

Используя представление Эйлера для комплексных чисел

получим

(5)

Выражение (5) можно привести к виду

где амплитуда -   - начальная фаза.

Т.о. амплитуда и начальная фаза находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний - через параметры колебательной системы.

1.2. Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Если в системе существует некоторое линейное затухание (т.е. сила сопротивления пропорциональная скорости движения тела), связанное с наличием сил сопротивления и трения, то амплитуда колебаний будет уменьшаться с течением времени.

Пусть в системе действует сила вязкого трения, т. е. сила направленная против скорости движения груза, модуль которой прямо пропорционален скорости (см. рис. 1.2.1).

Рис. 1.2.1

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Подставим выражения для сил, тогда

(6)

Преобразуем выражение (6) к виду

Введем обозначения   (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота) и   (коэффициент затухания), окончательно получим

(7)

Выражение (7) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний.

Решение уравнения (7) будем искать в виде:

(8)

Подставим (8) в (7) получим

Из полученного выражения найдем значения   :

Если   (случай большого сопротивления), тогда имеем апериодическое решение в виде. Тогда решение будет в виде

или

т.е. получаем затухающее движение.

Если   , тогда

(9)

где   - частота гармонических затухающих колебаний, т.е. получаем решение, соответствующее колебательному движению системы.