За напрямком розрізняють прямі і обернені зв'язки.

Прямий зв'язок - зв'язок, коли із зростанням факторної ознаки x зростає результативна ознака у.

Обернений зв'язок - зв'язок, якщо м зростанням факторної ознаки результативна зменшується або навпаки, із зменшенням факторної ознаки результативна зростає.

43. Залежно від форми зв'язку кореляційні залежності бувають прямолінійними і криволінійними.

При прямолінійній залежності рівним змінам середніх значень фак­торної ознаки відповідають рівні зміни середніх значень результатив­ної ознаки.

При криволінійній залежності рівним змінам середніх значень фак­торної ознаки відповідають нерівні зміни середніх значень результа­тивної ознаки.

Залежно від характеру зв'язку в економічних дослідженнях використовують лінійні і нелінійні рівняння.

Лінійне рівняння має таку формулу:

де Y- значення результативної ознаки;

а - вільний член рівняння, реального економічного змісту не має;

b - оефіцієнт регресії, який показує на скільки одиниць в серед­ньому зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на одиницю;

х - значення факторної ознаки.

Параметри а і b такого рівняння визначаються методом найменших квадратів шляхом розв'язання системи нормальних рівнянь:

Розв'язавши систему, отримуємо:

Якщо b має позитивний знак, то зв'язок прямий, якщо від'ємний - зв'язок обернений.

44. Для вимірювання щільності зв'язку і визначення його напрямку при лінійній залежності використовують лінійний коефіцієнт кореля­ції, який визначається за формулою:

Значення /коливається в межах від -1 до + 1. Якщо лінійний коефі­цієнт кореляції із знаком «+» - зв'язок між ознаками прямий, а якщо із знаком «-» - зв'язок зворотній. Мірою щільності кореляційного зв'язку є коефіцієнт детермінації, !кип розраховується як відношення (факторної дисперсії до загальної формулою:

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляції, тобто:

індекс кореляції показує тісну залежність витрат від віку устаткування. Мірою щільності зв'язку є також кореляційне відношення

де _- міжгрупова дисперсія; - загальна дисперсія.

45. Динаміка - це поступальний розвиток, зміна явищ у часі.

Протягом певного часу - місяць за місяцем, рік за роком - змінюється чисельність населення, капітал банківської системи, рівень при­бутковості капіталу, рівень інфляції.

Вивчення динаміки соціально-економічних явищ - одне із важли­вих завдань статистики.

Статистика вирішує його за допомогою побудови та аналізу рядів динаміки.

Ряд динаміки - ряд статистичних показників, які розміщені у хронологічній послідовності.

Складовими елементами ряду динаміки є:

1. ряд хронологічних дат (моментів) або інтервалів часу;

2. ряд числових значень статистичного показника, які називаються рівнями ряду.

Залежно від виду статистичних показників - рівнів, ряди динаміки поділяють на:

1. ряди абсолютних величин;

2. ряди відносних величин;

3. ряди середніх величин.

За ознакою часу динамічні ряди поділяються на два види:

1. інтервальні ряди;

2. моменті її ряди.

Інтервальний ряд - такий ряд динаміки, який характеризує явище за будь-які інтервали часу (за місяць, квартал, рік).

Моментний ряд - такий ряд динаміки, який характеризує явище за станом на будь-які моменти часу (на початок або на кінець періоду або

на певну дату).

46. У процесі аналізу рядів динаміки використовують такі показники:

• абсолютний приріст;

• темп зростання;

темп приросту;

- абсолютне значення одного процента приросту;

- абсолютне та відносне прискорення

- коефіцієнт прискорення

- коефіцієнт випередження.

Абсолютний приріст Обчислюється як різниця рівнів ряду ланцюговим і базисним методом:

- ланцюговий

- базисний

Сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює кінцевому базисному:

Темп зростання Обчислюється співвідношенням рівнів ланцюговим та базисним методом.

Л. Б.

Темп приросту Обчислюється як співвідношення абсолютно­го приросту до рівня порівняння, або як різниця між темпом зростан­ня і 100%:

;

або Абсолютне значення одного процента приросту Обчислюєть­ся як відношення абсолютного приросту до темпу приросту ланцюго­вим методом:

Якщо порівняти ланцюгові абсолютні прирости шляхом різниці між наступним і попереднім, то отримаємо абсолютне прискорення чи уповільнення швидкості розвитку явища:

Знак «+» вказує на прискорення абсолютної швидкості динаміки, а знак «-» - навпаки - па уповільнення.

Порівняння абсолютних приростів шляхом співвідношення пока­зує відносне прискорення чи уповільнення швидкості динаміки:

Порівняння ланцюгових темпів зростання дає коефіцієнт прискорення (уповільнення) відносної швидкості розвитку:

У статистичній практиці визначають відношення темпів вростання в рівних рядах динаміки і навивають коефіцієнтом випередження:

Коефіцієнт еластичності:

47. Середній абсолютний приріст обчислюється як середня арифметична проста із ланцюгових абсолютних приростів або як відношення кінцевого базисного абсолютного приросту до кількості відрізків часу:

Середній темп зростання обчислюється як середня геометрична з ланцюгових темпів зростання:

де п - кількість ланцюгових темпів зростання.

де п - число відрізків часу.

Середній темп приросту. Для обчислення середнього темпу приросту спочатку обчислюють середній темп зростання, а потім його зменшують на 100%.

48. Тенденція - основний напрямок розвитку

У статистичній практиці виявлення основної тенденції розвитку явищ використовують такі методи:

1. укрупнення інтервалів часу;

2. обчислення плинної середньої;

3. аналітичне вирівнювання.

Суть методу укрупнення інтервалів часу, до яких відносяться рівні динамічного ряду, полягає в тому, що рівні об'єднуються в групи по інтервалах, розраховується середній рівень за інтервал - 3 роки, 5 років і т. д.

Другий метод виявлення основної тенденції розвитку с згладжування ряду динаміки за допомогою плинної середньої. Суть його також по­лягає в укрупненні інтервалів, але воно проводиться шляхом послідов­них зміщень па одну дату при збереженні постійного інтервалу часу.

Найбільш ефективним методом виявлення основної тенденції є аналітичне вирівнювання. Його використовують у рядах з чітко визначеною тенденцією. При цьому рівні ряду динаміки розглядаються як функція часу

де Y- теоретичні рівні ряду,

t - змінна часу (0, 1, 2, ..., п).

Таку функцію називають трендовим рівнянням. Коли абсолютні прирости відносно постійні використовують лінійне рівняння Y= а+bt, a при відносно постійних темпах приросту - показникову функцію Y=ab^t.

Розглянемо лінійне рівняння (тренд).

Параметри тренду:

а - початковий рівень;

Ь - щорічний абсолютний приріст.

49. Індекс - відносна величина, яка характеризує зміну соціально-еко­номічного явища у часі і просторі або порівняно зі стандартом. Вимі­рюється в коефіцієнтах або у відсотках.

За характером порівнянь індекси поділяються на такі групи:

1. динамічні індекси;

2. територіальні індекси;

3. міжгрупові індекси.

Динамічний індекс характеризує зміну явища у часі. Наприклад, зміну цін, продуктивності праці, собівартості. Обчислюється як співвідношення числових значень однойменних показників поточ­ного (звітного) періоду до попереднього (базисного). Підрядкова позначка для показника поточного (звітного) періоду «1», а базисно­го - «0>>.

Територіальний індекс відбиває результат порівняння між об'єкта­ми, країнами, регіонами. Показники, що порівнюються, позначаються певними літерами.

Міжгруповий індекс характеризує відхилення від стандарту. Наприклад, ринкова ціна акції порівнюється з номінальною ціною.

За ступенем охоплення елементів сукупності індекси поділяють на індивідуальні та зведені.

Індивідуальні індекси (і) характеризують зміну у часі, просторі або відхилення від стандарту окремих елементів сукупності.

Зведені індекси (I) характеризують зміну певної множини елемен­тів і поділяються на групові і загальні.

Зведені індекси характеризують зміну сукупності, до якої входять різнорідні елементи, які не можна безпосередньо підсумовувати. Ре­зультат такого підсумовування не має економічного змісту. Наприклад, реалізована продукція може включати олію в літрах, цукор в кілограмах, яйце в штуках і т. д.

50. Індивідуальні індекси (і) характеризують зміну у часі, просторі або відхилення від стандарту окремих елементів сукупності.

Приклади економічних індивідуальних індексів:

51. Основною формою економічного індексу є агрегатна.

Агрегатний індекс - співвідношення двох агрегатів. Агрегат являє собою суму добутків показників, що індексуються, на їх співмножни­ки. Наприклад, агрегат вартості товарів . Побудуємо індекс цін то­варів:

де р - показник ціна - індексується (змінюється);

q - показник фізичного обсягу - співмножник (вага);

P₁ - ціна поточного (звітного) періоду;

P₀ - ціна попереднього (базисного) періоду.

У статистичній практиці використовують дві рівноправні системи агрегатних індексів:

Аналогічно можна побудувати індекси собівартості, продуктивнос­ті праці, трудомісткості.

Оскільки добуток ціни на кількість товару дає вартість товару, то використовується взаємозв'язок індексів . При цьому необxiдно звернути увагу на те, що індекси-співмножиики повинні бути в рівних вагах. Якщо індекс ціни І_р розрахований за системою Ласпереса, то індекс фізичного обсягу L - за системою Пааше:

- індекс вартості товарів,

- сума фактичних вартостей поточного (звітного) періоду;

- сума фактичних вартостей попереднього періоду.

52. У статистичній практиці використовують дві рівноправні системи агрегатних індексів:

Оскільки добуток ціни на кількість товару дає вартість товару, то використовується взаємозв'язок індексів

. При цьому необxiдно звернути увагу на те, що індекси-співмножиики повинні бути в рівних вагах. Якщо індекс ціни І_р розрахований за системою Ласпереса, то індекс фізичного обсягу L - за системою Пааше:

- індекс вартості товарів,

- сума фактичних вартостей поточного (звітного) періоду;

- сума фактичних вартостей попереднього (базисного) періоду.

54. Середньозважений індекс обчислюють як середню величину з інди­відуальних індексів за формулою середньої арифметичної зваженої або гармонічної зваженої.

Середньозважений індекс тотожний відповідному агрегатному ін­дексу:

Середньозважений індекс цін за середньою арифметич­ною зваженою відповідає агрегатному індексу цій за системою Ласпереса

Середньозважений індекс цін за середньою гармонічною зваженою відповідає агрегатному індексу цін за системою Пааше

Аналогічно тотожні індекси фізичного обсягу, собівартості, трудо­місткості та ін.

55. Індекси середніх величин характеризують зміну середніх величин, до них відносяться:

- індекс змінного складу;

- індекс постійного (фіксованого) складу;

- індекс структурних зрушень.

Індекс змінного складу

Індекс постійного складу

Індекс структурних зрушень характеризує зміну середньої величи­ни тільки за рахунок зміни структури сукупності при постійних значеннях ознаки x,

56.статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити, спираючись на результати вибіркового спостереження. Суть перевірки гіпотез полягає в тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні результати вибірки з гіпотезою, випадковими чи невипадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки.

Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають Н₀: G=А.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Н_а. При формулюванні Н_а враховується вагомість відхилень (G-А): для додатних відхилень Н_а:G>A, а для від’ємних – Н_а:G<A, для тих і інших – Н_а:G≠А.

Якщо вибіркові дані суперечать гіпотезі Н₀, вона відхиляється, коли ці дані узгоджуються з гіпотезою Н₀, вона не відхиляється. Спираючись на результати вибірки, статистична перевірка гіпотез неминуче пов’язана з ризиком прийняття помилкового рішення: ризик І – відхилення правильної нульової гіпотези, ризик ІІ – невідхилення нульової гіпотези, коли насправді правильною є альтернативна. Ці ризики конкуруючі, і зменшення ймовірності α одного зумовлює збільшення ймовірності β іншого. Оскільки уникнути ризиків неможливо, а наслідки їх, як правило, різновагомі, то в кожному конкретному дослідженні прагнуть мінімізувати той ризик, який пов'язаний з більшими втратами.

Правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або не відхиляється (приймається), назив. статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерію є статистична характеристика Z, значення якої визначається за даними вибірки, а закон розподілу відомий. Кожне значення характеристики Z має певну ймовірність F(Z). Якщо вибіркове значення Z малоймовірне, гіпотеза Н₀ відхиляється.

Межу малоймовірності Z називають рівнем істотності α. Очевидно, що α – це ймовірність ризику І, а тому залежно від змісту гіпотези Н₀ і наслідків її відхилення рівень істотності визначають у кожному конкретному дослідженні.

Отже, статистична гіпотеза перевіряється в такій послідовності: а) формулюють нульову Н₀ та альтернативну Н_а гіпотези; б) вибирають статистичну характеристику Z, за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н₀; в) визначають рівень істотності α і відповідне йому критичне значення Z_1-α; г) за результатами вибірки розраховують фактичне (вибіркове) значення статистичної характеристики Z, яке порівнюють з критичним Z_1-α.

Процедура перевірки гіпотез використовується при порівнянні вибіркових характеристик (середньої, частки, дисперсії) з відповідними нормативами, порівнянні характеристик двох вибіркових сукупностей, оцінюванні істотності розбіжностей двох розподілів, у дисперсійному та кореляційному аналізі.

58.В моделі аналітичного групування характеристикою кореляційного зв’язку є емпірична лінія регресії, яка утворюється із середніх значень результативної ознаки відповідно до груп фактичної ознаки. Для аналізу кореляційного зв’язку в моделі аналітичного групування застосовують дисперсійний аналіз, який ґрунтується на правилі розкладання дисперсій за формулою:

σ² – загальна дисперсія результативної ознаки, яка характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок впливу всіх факторів і обчислюється за формулою:

δ² – між групова дисперсія, яка характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок впливу тільки фактора х і обчислюється за формулою:

- середня дисперсія з групових дисперсій.

Формула групової дисперсії:

Вона характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок впливу всіх факторів, крім х.

Тоді дисперсія середня з групових має таку формулу:

Співвідношення дисперсії покладено в основу оцінки щільності кореляційного зв’язку. Оцінкою щільності кореляційного зв’язку в моделі аналітичного групування є кореляційне відношення, яке обчислюється за формулою:

Кореляційне відношення набуває значення від 0 до 1. чим ближче наближення до 1, тим щільніший кореляційний зв'язок. Якщо η²=0 – зв'язок відсутній; η²=1 – зв'язок функціональний.

59.У моделі регресійного аналізу характеристикою кореляційного зв’язку є теоретична лінія регресії, яка описується функцією Y=f(x) і називається рівнянням регресії. Залежно від характеру зв’язку у статистичному аналізі застосовують лінійні та нелінійні рівняння. Найчастіше в практиці вивчення кореляційних зв’язків моделі регресійного аналізу використовують лінійні рівняння, які мають такий вигляд: Y=a+bx.

У – теоретичне значення результативної ознаки

а – вільний член рівняння, реального економічного змісту не має

b – коефіцієнт регресії, який показує на скільки одиниць в середньому зміниться результативна ознака на одиницю

х – значення факторної ознаки

Параметри a i b такого рівняння визначаються методом найменших квадратів, шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь:

Розв’язавши систему отримаємо:

Якщо b має позитивний знак, то зв'язок прямий, якщо від’ємний – зв'язок обернений.

60.Будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів – загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тенденція до зростання, іншим – до зниження рівнів. Зростання чи зниження рівнів динамічного ряду, у свою чергу, відбувається по-різному: рівномірно, прискорено чи уповільнено. Нерідко ряди динаміки через коливання рівнів не виявляють чітко вираженої тенденції.

Щоб виявити й схарактеризувати основну тенденцію, застосовують різні способи згладжування та аналітичного вирівнювання динамічних рядів.

Суть згладжування полягає в укрупненні інтервалів часу та заміні первинного ряду рядом середніх по інтервалах. У середніх взаємоврівноважуються коливання рівнів первинного ряду, внаслідок чого тенденція розвитку вирізняється чіткіше.

Залежно від схеми формування інтервалів розрізняють ступінчасті та ковзні (плинні) середні.

При розрахунку ковзних середніх кожний наступний інтервал утворюється на основі попереднього заміною одного рівня. Оскільки середня належить до середини інтервалу, то доцільно формувати інтервали з непарного числа рівнів первинного ряду. У разі парного числа рівнів необхідна додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень ).

При аналітичному вирівнюванні динамічного ряду фактичні значення у_t замінюються обчисленими на основі певної функції У=f(t), яку називають трендовим рівнянням (t – змінна часу, Y – теоретичний рівень ряду).

Вибір типу функції ґрунтується на теоретичному аналізі суті явища, яке вивчається, і характері його динаміки. Зазвичай перевага надається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і вимірюють абсолютні чи відносну швидкість розвитку. Суттєвою підмогою при виборі функції є аналіз ланцюгових характеристик інтенсивності динаміки. Якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, вирівнювання ряду виконується на основі лінійної функції: У_t=a+bt. Якщо ж відносно стабільними є ланцюгові темпи приросту, то найбільш адекватною такому характеру динаміки є експонента Y_t=ab^t.