- •С.Г.Серебряков, д.Д.Ходкевич
- •Основы атомной и ядерной физики и элементы физики твердого тела
- •Учебное пособие для студентов 2 курса
- •Под редакцией проф. А.И.Черноуцана
- •I. Основы квантовой физики
- •1. Законы теплового излучения
- •2. Внешний фотоэффект
- •3. Дуализм свойств электромагнитного излучения.
- •4. Эффект Комптона.
- •5. Теория Бора для атома водорода и водородоподобных ионов.
- •II. Элементы квантовой механики
- •Волны де Бройля.
- •8.Волновая функция. Уравнение Шредингера
- •9. Решение уравнения Шредингера для движения частицы в одномерной бесконечной потенциальной яме.
- •10. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора
- •III. Основы атомной физики
- •11. Уравнение Шредингера для атома водорода
- •12. Квантование момента импульса. Квантовые числа. Орбитальный магнитный момент электрона
- •13. Спин и магнитный момент электрона
- •15. Вынужденное излучение. Лазеры
- •Iу. Элементы физики твердого тела
- •16. Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака Принцип неразличимости тождественных частиц
- •17. Свободные электроны в металле
- •18. Сверхпроводимость и сверхтекучесть.
- •19. Образование энергетических зон в кристаллах.
- •20. Собственные и примесные полупроводники
- •22. Свойства атомных ядер
- •Оболочечная модель ядра
- •23. Ядерные силы
- •24. Закон радиоактивного распада
- •25. Альфа –распад
- •26. Бета–распад
- •28. Реакция деления тяжелых ядер
- •29. Проблемы управляемого термоядерного синтеза
- •30. Элементарные частицы
8.Волновая функция. Уравнение Шредингера
Де Бройль связал со свободно движущейся микрочастицей плоскую волну с
циклической частотой и длиной волны. Волна, движущаяся в положительном
направлении оси x, описывается функцией
,
где ивыражены через энергию и импульс микрочастицы , - мнимая единица.
Комплексную функцию называют волновой функцией или пси–функцией .
В квантовой механике невозможно точно определить положение микрочастицы в пространстве. Возможно лишь определение вероятности нахождения микрочастицы в некоторой области пространства. Другого способа описания движения объектов в микромире не существует. Поэтому для описания состояния частицы при таком вероятностном подходе используют не уравнение движения , а
комплексную волновую функцию .
Пси–функцию локализованного состояния выбирают так, чтобы она удовлетворяла условию нормировки , где интеграл берется по всему пространству, где находится частица или по той области, в которой отлична от нуля. Условие нормировки означает, что во всей области, где , частица находится с вероятностью равной 1. Пси–функцию, удовлетворяющую условию нормировки, называют нормированной.
Если известна волновая функция , то с ее помощью можно вычислить средние значения физических величин, характеризующих микрочастицу. Среднее значение координаты частицы ,
а среднее значение любой функции координат
,
где интегрирование ведется по всему пространству или интересующей нас области.
Уравнение Шредингера.
Это основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, играющее та-
кую же роль, как второй закон Ньютона в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:
,
где - масса частицы, - оператор Лапласа ; - посто-
янная Планка; – потенциальная энергия силового поля, в котором дви-
жется частица, которой соответствует потенциальная энергии сидового поля.
Если силовое поле стационарно, то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера представляет собой произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а второй от времени.
,
где E – энергия микрочастицы. Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера, получим:
,
Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Пси-функция должна удовлетворять стандартным условиям: быть конечной, однозначной и непрерывной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии . Их называют собственными значениями, а решениями уравнения Шредингера , при этих значениях энергии, - собственными функциями.
9. Решение уравнения Шредингера для движения частицы в одномерной бесконечной потенциальной яме.
Функция при x < 0 и ; при (Рис.16).
Рис.16 Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная потенциальная яма
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:
,
где - масса частицы, E – ее энергия. Введем обозначение , тогда
Движение при x < 0 и движение невозможно ( ), поэтому в этих областях . В силу непрерывности волновой функции . Решение уравнения имеет вид
и должно удовлетворять граничному условию , откуда =0. Второе граничное условие
выполняется при , откуда . Это означает, что уравнение Шредингера имеет решения только для значений энергии, удовлетворяющих условию
( ).
Соответствующие En собственные волновые функции частицы имеют вид:
,
, . Для определения A необходимо воспользоваться условием нормировки,
,
откуда окончательно
.
Г рафики волновых функций нескольких состояний показаны на Рис.17 пунктирными линиями, а функции плотности вероятности – сплошными.
Рис.17 Графики волновых функций и функций плотности вероятности
Плотность вероятности нахождения частицы на единице длины в том или ином месте внутри одномерной бесконечной прямоугольной потенциальной ямы:
,
а вероятность обнаружения микрочастицы между координатами х1 и х2 внутри потенциальной ямы:
Примеры решения задач. Во всех примерах рассматривается движение частицы (электрона) в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной , сокращенно – в потенциальной яме.
Задача 1. Электрон находится в потенциальной яме шириной . Вычислите вероятность того, что находясь в возбужденном состоянии (n=2), он будет обнаружен в средней трети ямы.
Решение. Вероятность обнаружить частицу в интервале определяется равенством
,
где - нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию. Возбужденному состоянию отвечает собственная функция
.
Тогда вероятность равна
.
Задача 2. Электрон находится в потенциальной яме шириной 1,4 нм. Определите энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй.
Решение. Энергия электрона массой , находящегося на п – ом энергети
ческом уровне в потенциальной яме шириной , определяется по формуле:
.
Энергия, излучаемая при переходе электрона с - го уровня на - й, равна
= 1,5410–19 Дж = 1 эВ.
Задача 3. Частица находится в потенциальной яме. Найдите отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы в трех случаях: 1) ; 2) ; 3) .
Решение. Собственное значение энергии частицы , находящейся на -ом энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме, определяется выражением: . Здесь - ширина потенциальной яме.
.
Отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы имеет вид:
,
при : , при : при : .
Задача 4. Частица в потенциальном яме шириной находится в возбужденном состоянии. Определите, в каких точках интервала плотность
вероятности нахождения частицы максимальная и минимальна.
Решение. Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид: .
Возбужденному состоянию отвечает плотность вероятности:
.
Функция максимальна при , отсюда .
При : ; . При : ; . При : ; . , поэтому не удовлетворяет условию задачи. Функция минимальна при ; При : ; . При : ; . По условию , поэтому не является решением. Тогда плотность вероятности максимальна при и , а минимальна при .