19. Образование энергетических зон в кристаллах.

В квантовой механике, как и в классической не существует методов точного

решения задачи многих тел. Поэтому такую задачу сводят к движению одного электрона во внешнем поле. Твердое тело рассматривается как совокупность покоящихся или слабодвижущихся ядер и движущихся электронов. Если считать ядра неподвижными, то движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер. Взаимодействие одного электрона с остальными электронами заменяется действием на него электрического поля с периодичностью кристаллической решетки (самосогласованное поле).

При образовании твердого тела из N отдельных атомов N их одинаковых уровней переходят в N близкорасположенных несовпадающих уровней, образующих энергетическую зону. Таким образом, каждый уровень изолированного атома в кристалле расщепляется на N близких уровней энергетической зоны. Заметное расщепление наблюдается лишь для уровней валентных электронов. Аналогично расщепляются и вышележащие свободные уровни. В ряде случаев возможно перекрывание зон. Между энергетическими зонами кристалла находятся запрещенные зоны, соответствующие промежуткам между энергическими уровня отдельных атомов. На Рис.27 показана схема образования энергетических зон для лития, у которого K –оболочка заполнена полностью, а 2s – подоболочка содержит один электрон и заполнена наполовину. Образующаяся энергетическая зона соответствующая уровню 1s лития заполнена полностью, а валентная зона с наибольшим расщеплением только наполовину. Заполнение зоны показано на Рис.27 штриховкой.

Рис.27 Расщепление энергетических уровней в кристалле лития.

Следовательно, энергетический спектр валентных электронов в кристалле

распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон. Ширина зон не зависит от размеров кристаллов, поэтому при увеличении числа атомов расстояние между уровнями в энергетической зоне будет уменьшаться. Разрешенные зоны имеют величину порядка нескольких электронвольт, поэтому для одного моля кристалла (содержащего 10²³ атомов) расстояние между уровнями в зоне будет около 10^-23эВ. На каждом энергетическом уровне в соответствии с принципом Паули могут находиться два электрона. При Т = 0 электроны заполняют нижние уровни валентной зоны, а вышележащие зоны будут свободны.

В зависимости от заполнения валентной зоны и ширины запрещенной зоны возможны 3 случая (Рис.28).

Рис.28 Энергетические зоны проводников, полупроводников и диэлектриков

1. Электроны заполняют валентную зону не полностью и могут перемещаться на вышерасположенные уровни под действием внешнего электрического поля или теплового движения (E~10^-23 ÷ 10^-22 эВ). Такая структура энергетических уровней наблюдается у металлов (например, у меди), где на последнем уровне находится только один из двух s-электрон, поэтому валентная зона заполнена только наполовину.

2. Валентная зона занята полностью, а энергии электрического поля не хватает для перехода электрона в свободную зону. Если ширина запрещенной зоны ΔW ~ kT, то такой переход возможен за счет энергии теплового движения. Такие кристаллы называются полупроводниками.

3. Валентная зона занята полностью, а ширина запрещенной зоны ΔW >> kT,

тогда энергии теплового движения недостаточно для перехода электрона в свободную зону, и кристалл является диэлектриком.