I. Основы квантовой физики

1. Законы теплового излучения

Тепловое излучение – излучение телом электромагнитных волн за счет его внутренней энергии. Тепловое излучение происходит при переходе атома с одного энергетического уровня на другой в результате теплового движения. Тепловое излучение наблюдается при любой температуре и характеризуется сплошным спектром (непрерывный ряд длин волн) с максимумом интенсивности при определенной длине волны, зависящей от температуры.

При термодинамическом равновесии само тепловое излучение является равновесным. Если нагретые (излучающие) тела поместить в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой, то через некоторое время в результате непрерывного обмена энергией между телами и излучением, заполняющим полость, температура всех тел станет одинаковой и наступит равновесие, т.е. каждое тело в единицу времени будет поглощать в среднем столько же энергии, сколько и излучать. В соответствии с законами термодинамики в полости устанавливается хаотическое состояние излучения, которому соответствует наибольшая вероятность. Оно и называется равновесным. Плотность равновесного излучения, его распределение по спектру частот и направлениям распространения не зависят от формы и материалов стенок полости и определяются только температурой стенок полости. Поскольку излучение находится в тепловом равновесии со стенками, то можно говорить не только об их температуре, но и о температуре самого излучения. Температура равновесного излучения есть свойство самого излучения, а не стенки, с которой оно находится в тепловом равновесии. О температуре равновесного излучения можно говорить и в отсутствии полости.

Основные характеристики теплового излучения.

Поток (мощность) излучения  - отношение энергии излучения W ко времени t, за которое оно произошло:

или .

Плотность потока энергии – энергия, переносимая в единицу времени через единицу площади перпендикулярно направлению распространения излучения.

Энергетическая светимость (R) тела — поток энергии электромагнитных волн, испускаемый единицей площади поверхности излучающего тела во всем диапазоне длин волн по всем направлениям (в пределах телесного угла 2).

.

Размерность энергетической светимости - [R] = Вт/м². Энергетическая светимость зависит от температуры тела. Мощность излучения всего тела определяется выражением P = Ф = RS, где R - энергетическая светимость тела, S — площадь его поверхности.

Излучение состоит из волн различной длины или частоты  (). Доля энергетической светимости dR, приходящаяся на узкий интервал длин волн от  до +d пропорциональна

.

Величина называется излучательной способностью (спектральной плотностью энергетической светимости).

Доля энергетической светимости dR, приходящаяся на узкий интервал частот от  до  + d или от  до +d пропорциональна величине этого интервала d или d и можно ввести излучательные способности и

Длина электромагнитной волны , ее частота  и скорость распространения c связаны соотношением c = , и если интервалы и относятся к одному к одному и тому же участку спектра, то dR = r_d r_d_r_dr_и

.

Излучательные способности измеряются в Дж/м², а в Вт/м³. Зная излучательную способность тела, можно найти его энергетическую светимость:

.

Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется поглощательной способностью или .

Поглощательная способность тела – безразмерная величина, равная отношению потока энергии излучения в интервале частот от до d, или в интервале длин волн от  до +d поглощенного единицей площади поверхности тела за единицу времени, к падающему потоку:

,

где – поток энергии, поглощаемый телом, – поток энергии, падающий на тело. Поглощательная способность зависит от природы тела, состояния его поверхности, частоты или длины волны падающего излучения и температуры.

Абсолютно черное тело (АЧТ) - тело, поглощательная способность которого равна единице для всех длин волн или частот: . АЧТ поглощает всю падающую на него энергию. Модель АЧТ - замкнутая полость с небольшим отверстием. Практически все лучи, попадающие в полость через отверстие, в результате поглощений и отражений от внутренних стенок оказываются поглощенными.

Серое тело - тело, для которого поглощательная способность меньше единицы, но постоянна для всех длин волн (частот) .

Закон Кирхгофа.

Если система состоит из нескольких тел, нагретых до различной температуры, то спустя некоторое время произойдет выравнивание температур: горячие тела, излучая, передадут холодным энергии больше, чем получат от них, а холодные тела поглотят больше энергии, чем отдадут при излучении. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока не наступит термодинамическое равновесие. При неизменной температуре, а, следовательно, и энергии тел тело с большей излучательной способностью r_будет больше излучать. Для компенсации потерянной при этом энергии оно должно будет больше поглощать, т.е. обладать большей поглощательной способностью a_ Отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности будет выражаться универсальной функцией длины волны и температуры:

Поскольку поглощательная способность АЧТ равна единице, то эта функция является излучательной способностью АЧТ :

Закон Кирхгофа: отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности при данной температуре одинаково для всех тел и равно излучательной способности АЧТ.

При одной и той же температуре АЧТ обладает наибольшей излучательной способностью и энергетической светимостью. Для серых тел энергетическая светимость .

Закон Стефана–Больцмана. Закон Вина.

Н а рисунке 1 представлены экспериментальные кривые зависимости излучательной способности (спектральной плотности энергетической светимости) АЧТ от длины волны при постоянных температурах.

Рис.1 Зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при 1600К,

1700К и 1800К.

Как видно из рисунка излучательная способность АЧТ возрастает с повышением температуры, а ее максимум с увеличением температуры смещается в область более коротких волн. Площадь под кривой равна энергетической светимости АЧТ .

Закон Стефана–Больцмана: энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени его температуры

,

где  = 5,6710^-8Втм^-2К^-4 - постоянная Стефана-Больцмана. Для серого тела , где – поглощательная способность серого тела.

Закон смещения Вина: выражает зависимость положения максимума функции от температуры:

где мК – постоянная Вина, – длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности АЧТ. Этот закон выполняется и для серых тел.

Формула Рэлея–Джинса для излучательной способности АЧТ.

Рэлей и Джинс попытались получить вид функции в рамках классической статистической физики, в соответствии с которой тело испускает и поглощает энергию непрерывно. Вычисления привели к формуле:

,

где – средняя энергия осциллятора с собственной частотой , – постоянная Больцмана, – абсолютная температура, с – скорость света в вакууме.

Полученная зависимость хорошо согласуется с экспериментом при малых частотах (больших длинах волн), т.е. при условии h << kT, но дает неверный результат при больших частотах. Функция не имеет максимума, монотонно возрастает, а интеграл от этой функции, т.е. полная энергия излучения, равен бесконечности. Эта ситуация была названа современниками ультрафиолетовой катастрофой.

Формула Планка.

Функцию излучательной способности АЧТ, согласующуюся с опытными данными, удалось получить М. Планку в 1900 году. Для этого ему пришлось предположить, что электромагнитная энергия излучается АЧТ порциями (квантами), энергия которых пропорциональна частоте излучения , где =6,6310^-34Джс –коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Планка, –частота излучения.

Формула Планка имеет вид:

, , ,

где – испускательные способности АЧТ, – длина волны,  – частота,  – циклическая частота, с – скорость света в вакууме, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура, – приведенная постоянная Планка ( = 1,0510^–34  Джс).

Средняя мощность излучения в интервале длин волн : , здесь – излучательная способность АЧТ, S – площадь излучающей поверхности.

При формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса

,

а при – в формулу Вина, которая ранее была получена эмпирически

Примеры решения задач

Задача 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум его излучательной способности соответствует длине волны, равной 500 нм. Принимая Солнце за АЧТ, определите:

1. энергетическую светимость Солнца;

2. поток энергии, излучаемой Солнцем.

Решение. 1. Выразим температуру излучающей поверхности из закона смещения Вина

и, подставив в закон Стефана-Больцмана, для энергетической светимости, получим:

6,4·10⁷ Вт/м².

2. Поток энергии, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности: , ( , где - радиус Солнца, равный 6,9810⁸ м). Таким образом, . Произведя вычисления, получим Вт.

Задача 2. Внутренняя поверхность муфельной печи при открытом отверстии диаметром = 5 см имеет температуру Т равную 1000 К. Считая, что отверстие излучает как АЧТ, определите, какая доля мощности рассеивается внешними стенками печи, если мощность P, потребляемая печью, составляет 500 Вт.

Решение. После установления режима теплового равновесного печи доля мощности, рассеиваемой внутренней поверхностью печи:

,

где - мощность излучения, испускаемого отверстием , - энергетическая светимость, - площадь отверстия печи. Окончательно получим:

= 96,1%

Задача 3. АЧТ находится при температуре 1500 К. При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму излучательной способности, изменилась на 5 мкм. Определите температуру, до которой охладилось тело.

Решение. В соответствии с законом Вина при остывании тела длина волны, приходящаяся на максимум излучения, смещается в сторону более длинных волн. Тогда и для температуры тела после остывания получим:

Задача 4. Диаметр спирали в электрической лампочке d = 0,3 мм, длина спирали = 5 см. При включении лампочки в сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. Найдите температуру спирали. Считать, что при ус-

тановившемся равновесии все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетической светимости вольфрама и АЧТ а= 0,31.

Решение. По условию задачи электрическая мощность, потребляемая спиралью, равна мощности теплового излучения

,

тогда

= 2600 К.