Признак Раабе.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд расходится, если , то ряд сходится. Признак Раабе обычно применяется тогда, когда рассмотренные выше достаточные признаки сходимости числовых рядов не приводят к результату. К началу страницы

Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся. Пример. Докажите, что знакопеременный числовой ряд абсолютно сходится. Решение. Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как . Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: . Следовательно, ряд сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно. 41) Теорема Лейбница

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2. 

Доказательство ^[1]  

Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).

2n-ая частичная сумма данного ряда равна Так как каждая сумма в скобках неположительна и то отсюда следует ограниченность 2n-ой частичной суммы сверху числом

Также та же 2n-ая сумма равна Каждая сумма в скобках неотрицательна. Отсюда следует неубывание последовательности то есть для любого выполняется

Из первого предложения доказательства эта последовательность ограничена сверху. Значит, существует такое число s, что

Далее, так как и так как то Сумма данного ряда равна где — конечное число. Доказательство сходимости завершено.

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Доказательство

Последовательность монотонно возрастающая, так как а выражение неотрицательно при любом целом Последовательность монотонно убывает, так как а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — и — совпадающий предел при Так получено и также Отсюда и Итак, для любого выполняется что и требовалось доказать.

42) Абсолютная и условная сходимость

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n; 2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

44) Разложение элементарных функций в степенные ряды

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

………………………………………………..                     (31)

 

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Тогда

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

          (32)

Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 24. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х = 0 имеем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

                 (33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).

Пример 25. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) f(x) = sin x; 2) f(x) = cos x.

Решение.

1)Находим производные функции f(x) = sin x; имеем

Так как производная четвёртого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдём значения функции и её производных при х = 0:

Поэтому ряд Маклорена для f(x) = sin x имеет вид

           (34)

2) Находим

производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Далее, имеем

В результате получаем следующее разложение функции f(x) = cos x в ряд Маклорена: