Признак Даламбера.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Пример. Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера. Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя: Условие выполнено. Воспользуемся признаком Даламбера: Таким образом, ряд сходится. Пример. Проверьте расходимость числового ряда . Решение. Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости числового ряда: Следовательно, ряд расходится. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел. К началу страницы

Радикальный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров. Пример. Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши. Решение. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . По радикальному признаку Коши получаем . Следовательно, ряд сходится. Пример. Сходится ли числовой ряд . Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши , следовательно, числовой ряд сходится. К началу страницы

Интегральный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится. При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции. Пример. Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость. Решение. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную: . Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале. Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Воспользуемся им: То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд. Пример. Докажите сходимость числового ряда . Решение. Так как , то необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Начиная с k = 4, справедливо неравенство . Таким образом, если доказать сходимость ряда , то в силу первого признака сравнения будет сходиться ряд , тогда из первого свойства сходимости рядов последует сходимость исходного числового ряда. Итак, осталось доказать сходимость числового ряда . Так как функция положительная, непрерывная и убывающая на интервале (проверить эти факты оставляем Вам), то можно воспользоваться интегральным признаком Коши: Таким образом, несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится ряд . Этим доказана сходимость исходного числового ряда. К началу страницы