9.Постоянные и переменные величины. Предел.

Предел - это важнейшее понятие в мат, оно опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения. Суть метода пределов состоит в том, что для определения неизвестной величины находится ее приближение(неограниченное число). Если становится все более точными и отличными от определенной величины все мен и мен , то сама величина обозначается как предел.

lim — это первые три буквы латинского слова limes, которое и озна-

чает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил

И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г., а выражение lim первым записал англичанин У. Гамильтон в 1855 г.Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины, и в противоположность ей, понятие постоянной величины.

Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения

Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.

Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.

Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.

Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.

10.Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин. Бесконечно малые.Переменная   называется бесконечно малой, если для любого   существует такое значение   , что каждое следующии за ним значение   будет по абсолютной величине меньше   . Если   - бесконечно малая то говорят, что   стремится к нулю, и пишут:   .Бесконечно большие. Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа cсуществует такое значение   , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше   . Пишут:  Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно. 

11. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.

Производной функции     в точке   называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента  ,  при  (если этот предел существует и конечен). 1) Физический смысл производной. 

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственная.

12. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование элементарных функций. 1) Производная константы равна нулю, т.е  , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е  3) Производная произведения находится по правилу:  .

4)  , где   - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

 

6) Если функция  имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  , причем  (правило дифференцирования сложной функции).

 

7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем  .  Если существует обратная функция  , то она имеет производную в точке и   (производная обратной функции).