Вопрос 2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте

Невозможно рассмотрение математики в качестве феномена, изолированного от культурных условий, сложившихся в рамках данной цивилизации.

Основные этапы развития математики:

1. до VI в. До н.э. – возникновение и развитие математики в странах древнего мира

2. VI в. До н.э. – XVII в. н.э. – период элементарной математики

3. XVII в. н.э. – нач XIX в. – математика переменных величин.

17 век: Декарт «Геометрия» - ввел переменные величины, создание аналитической геометрии, ввел прямоугольную систему координат; Ньютон – интегральное и дифференциальное исчисление.

18 век – Лагранж – основы аналитической механики; Эйлер – f(x); дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория вероятности.

4. с XIX в. – современный этап – теория групп, теория множеств, возникновение неевклидовых геометрий (Лобачевский, Риман, Гильберт)

Осознание зависимости дедуктивной математики от обстоятельств времени и места заставило обратить внимание на проблему ее зарождения.

Возникновение аксиоматического метода невозможно объяснить одним количественным ростом математического знания. Следовательно, необходимость поиска специфических внешних исторических предпосылок.

Для того, чтобы аксиоматический метод мог с необходимостью возникнуть в некоторой области знаний, важно, чтобы утверждения о свойствах объектов данной предметной области не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мыслительного их конструирования в соответствии с заранее принятыми постулатами.

Особая роль геометрии в историческом становлении идей аксиоматического метода объясняется парадоксальным сочетанием противоречивых обстоятельств: свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности м.б. открыты и разъяснены независимо от какой ибо аксиоматики и дедукции; доказательство их истинности невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты.

Никакой иной подходящей предметной области для возникновения дедуктивного способа рассуждения, не существует, следовательно, только теоретическая геометрия (др. Греция) могла дать толчок становлению аксиоматического метода.

Вопрос 3. Закономерности развития и философские концепции математики

Вопрос о закономерностях развития математики тесно связан с вопросом о природе математического знания. Математика: практическая (вычислительный процесс – эффективность количественных методов) и теоретическая (мат.методы- наивысшая степень общности развивающих методов; максимальная логическая строгость – 2 вида:не связанная с аксиоматизацией и опирающаяся на аксиоматико-дедуктиный метод). Т.к. целевые установки теоретической и практической математики различаются, то вопрос о закономерности развития математики как целого м.б. решен после ответа на вопрос, как эти уровни соотносятся, что невозможно без учета специфики конкретно-исторического этапа развития математики.

Практическая математика – возникла во всех древних цивилизациях, на ранних стадиях развития. Теоретическая математика возникла в ряде древних цивилизаций, связано со становлением специального математического образования.

Периоды развития математики: 1. До появления теоретической математики: разработка вычислительных процедур, относящихся в практической математики (определилось влиянием социально-экономического фактора)

2. С появлением доаксиоматических форм теоретической математики (взаимодействие вычислительных методов с развитием теоретических методов)

3. С появлением аксиоматической ветви теоретической математики (до середины 17 в. – относительно независимое развитие Т.М. и П.М.; 17 в. – вытеснение П.М. как самостоятельной дисциплины и превращение ее в «чистую» математику, прогресс Т.М.)

Факторы развития математических концепций: внутренние и внешние.

Концепция «чистой» математики (фундаменталистский подход); Бибербах – влияние национальных математических школ на развитие математики; Уайлдер – культурная детерминизация математики. Закономерности развития математики рассматриваются в рамках развития и роста научного знания: парадигмальный подход Куна, фальсифиционизм Поппера (опровержение концепций), НИП Лакатоса.

Проблема (из-за редукции всей математики к чисто теоретической компоненте): увеличение разрыва между математикой и потребностями экономического развития (технологии); увеличение разрыва между математикой и образованием (математический формализм).

Философские концепции математики:

1. Пифагореизм: лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием; «все есть число» - математика определила понимание реальности – любая вещи м.б. познана через раскрытие ее числа; число не только структура вещей, но и их причина. Покачнулась: открытие несоизмеримых геометрических величин, развитие философии (обоснованное объяснение природы математических объектов)

2. Аристотель: критика пифагореизма; математический эмпиризм (первичность опытного знания); вещи первичны пере математикой и определяют ее содержание; строгость математических рассуждений – следствие простоты ее предмета.

3. Априоризм (17-18 вв): математика– принципиально внечувственное знание; Декарт – истины вечные и чувственные; Лейбниц – истины необходимые и случайные; Кант – истина – аналитическая и синтетическая; априорная (независимая от опыта) и апостериорная, логика – априорная аналитическая, математика – априорная синтетическая.

4. Эмпиризм: В средневековье – в рамках номинализма, в новое время – математика как язык описания физических закономерностей, в XX в. – Лакатос, Рудман

5. Формалистская концепция: (к 19-нач 20 вв.) – Кантор, Пуанкаре, Гильберт – математика – метод трансляции опытного знания; требования к аксиомам – непротиворечивость; обоснование математической теории заключается в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом

6. XX в – эмпиризм (Пиаже, Лакатос, Китчер); логицизм (Фреге, Рассел - строгую типизацию математических объектов); интуиционизм (Брауэр); формализм (Гильберт, Нейман - изучение формальных систем на основе классической логики); эффективизм (Борель, Лебег)

Современные: холизм, номинализм, натурализм, концепция физиологического истолкования математики.