1.3. Статические и динамические характеристики средств измерений
Работа средств измерений характеризуется функцией преобразования, общий вид которой
.
При анализе сложной измерительной цепи средство измерений может быть разделено на ряд звеньев.
Функция преобразования является обобщенной характеристикой измерительной цепи, так как связывает между собой входную и выходную величины.
Статическая функция преобразования определяет свойства измерительной цепи в установившемся состоянии.
В условиях меняющейся входной величины проявляются динамические свойства средств измерения, которые определяют поведение цепи или ее элементов в переходных режимах, а также при воздействии на вход переменных, в частном случае, периодических воздействий. Эти свойства описываются динамическими характеристиками.
Идеальной статической функцией преобразования можно считать линейную:
.
Эту функцию
характеризуют чувствительность и
диапазон преобразования. Чувствительность
или коэффициент преобразования
.
Диапазон преобразования – область
входных величин, в пределах которой
элемент или измерительная цепь
обеспечивает реализацию функции
преобразования. Он ограничивается
верхним и нижним пределом. В общем
случае функция преобразования имеет
вид:
.
Дефекты статической функции преобразования являются источниками погрешностей средств измерения. К ним относят: нелинейность, гистерезис, порог чувствительности, дрейф нуля.
Нелинейность характеризует несоответствие фактической функции преобразования и идеальной модели.
Относительная
приведенная нелинейность оценивается
отношением максимальной разности
к диапазону преобразования
:
.
(1.3.1)
Гистерезис – неоднозначность функции преобразования при увеличении и уменьшении входной величины. В пределах зоны, ограниченной ветвями характеристики, средство измерения теряет чувствительность.
Относительное приведенное значение гистерезиса:
. (1.3.2)
Порог чувствительности – минимальное изменение входной величины, вызывающее заметное изменение выходной:
Рис. 1.3.1
.
(1.3.3)
Дрейф нуля – смещение функции преобразователя.
Динамический элемент, имеющий характеристику вида , называется усилительным или пропорциональным. Это идеальная динамическая характеристика.
Реальные средства измерения вносят в измеряемую величину динамические искажения.
Динамические характеристики могут представляться в виде переходных и частотных характеристик и передаточных функций.
Переходная характеристика – значения выходной величины во времени при изменении входной величины по заранее известному закону (ступенчатая функция):
при
,
где
– искомая функция ;
– известная
функция .
Переходную характеристику получают путем решения дифференциальных уравнений или экспериментально.
Частотные характеристики представляют зависимость амплитуды и фазы выходной величины от частоты входного гармонического сигнала:
на
входе:
;
на
выходе:
.
В комплексном виде:
;
,
(1.3.4)
где
– угловая частота;
и
– модули векторов
и
;
– угол сдвига
фаз.
Выражение
называют комплексной частотной
характеристикой (КЧХ):
.
(1.3.5)
Функции
и
– амплитудно-частотная и фазочастотная
характеристики. В ряде случаев используют
логарифмические амплитудно-частотные
характеристики (ЛАЧХ):
.
Величина
называется затуханием и выражается в
децибелах (дБ).
Передаточная функция – обобщенный вид динамической характеристики, представляющий собой отношение преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов.
,
(1.3.6)
где р–комплексное выражение из преобразования Лапласа.
Передаточная функция определяется путем анализа дифференциальных уравнений, а также по таблицам типовых функций .
Примером
апериодического элемента 1-го порядка
может служить термопреобразователь
сопротивления. Сопротивление при
температуре
:
,
где
– сопротивление при температуре 0 С
;
– термический
коэффициент сопротивления материала.
Статическая
характеристика проходит через точку
(
).
При скачкообразном изменении температуры
среды от
до
процесс изменения
во времени будет описываться выражением
,
(1.3.7)
где
– время от момента
,
с;
– постоянная
времени, характеризующая скорость
протекания процесса,
(
– теплоемкость преобразования , Дж/С;
– произведение коэффициента теплопередачи
на площадь поверхности, Вт/м
.С);
(
– конечное значение сопротивления,
Ом;
– начальное значение сопротивления,
Ом).
Численно постоянная
времени равна отрезку времени от момента
скачка до момента, когда величина
пройдет 63 %
.
При помещении термопреобразователя в различные среды можно получить различные значения постоянной времени в зависимости от коэффициента теплоотдачи.
При использовании
времени 99-го приближения (
)
постоянная времени:
.
При изменении температуры по синусоидальному закону
.
Сопротивление составит:
;
;
,
где
и
– амплитудные значения сопротивления
и температуры;
- фазочастотная характеристика (ФЧХ);
- амплитудно-частoтнaя характеристика (АЧХ).
Частота, при
которой
,
а
,
называется граничной
;
;
,
где
,
,
-
постоянные времени.
Амплитудно-фазовые характеристики (АФХ) могут быть найдены аналитически:
.
(1.3.8)
Передаточная функция, апериодического элемента 1-го порядка определяется по формуле:
.
(1.3.9)
Пусть термометром
с постоянной времени
С
измеряют две температуры (t1
и t2), перенося
термометр из одного сосуда в другой.
Определим время, в течение которого
показания термометра tтм
не будут отличаться от измеряемой
температуры более чем на 0,1 С,
т.е.
С.
;
С;
С;
;
;
;
;
с.
Таким образом, отсчет температуры необходимо производить через 106 с после переноса термометра.
Примером колебательного элемента может служить металлическая мембрана, жестко закрепленная по периметру. Отличительной особенностью такого элемента являются свободные колебания.
Амплитудно-частотную характеристику можно представить в виде:
,
(1.3.10)
где
– относительная частота,
(
– собственная угловая частота свободных
колебаний);
– степень успокоения
или относительное затухание.
При резонансе
амплитуда резко возрастает. Если
обозначить
,
то можно определить максимальную
частоту сигнала, при которой повышение
амплитуды будет не больше заданной:
.
(1.3.11)
Из теории известно,
что при
амплитудно-частотная характеристика
не имеет резонансного подъема и, с точки
зрения воспроизведения сигнала, является
наиболее благоприятной.
Пусть собственная
частота свободных колебаний мембраны
кГц,
относительное затухание
.
Предельная частота синусоидальных
колебаний давления, при которой
резонансный подъем превышает коэффициент
передачи при нулевой частоте не более
чем на 10 %, то-есть
,составит:
Гц.
В качестве дифференцирующего элемента может быть рассмотрен преобразователь давления с пьезоэлектрическим чувствительным элементом.
В идеальном дифференцирующем элементе скачкообразное входное воздействие вызывает появление на выходе импульса напряжения бесконечно большой высоты и бесконечно малой длительности.
Передаточная функция реального дифференцирующего элемента:
.
(1.3.12)
Амплитудно-частотная характеристика :
.
(1.3.13)
Примером элемента чистого запаздывания. может служить соединительный канал между источником давления и входом преобразователя.
Передаточная функция может быть представлена в виде:
.
(1.3.14)
Общая передаточная функция при последовательном соединении элементов измерительной цепи определяется как произведение передаточных функций отдельных элементов:
(1.3.15)
При параллельном включении – как сумма:
. (1.3.16)