Середні веЛиЧини
Методичні вказівки
Середня – в статистиці – абстрактна, узагальнююча величина, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності. Коливання індивідуальних значень ознаки, викликані дією різних факторів, урівноважуються в середній величині, погашаються при усередненні і в середній виявляються загальні властивості, характерні для певного масового явища.
Основною умовою наукового застосування середніх величин є якісна однорідність сукупності, для якої обліковується середня. Отже, обчислення і використання середніх величин тісно пов’язані з методом статистичних групувань, за допомогою яких різнорідні явища розподіляються на якісно однорідні сукупності.
Середні величини для неоднорідних сукупностей не мають наукового і пізнавального значення.
Середні величини можуть бути абсолютними або відносними. Їх виражають в тих самих одиницях вимірювання, що й усереднені ознаки.
Основні завдання розрахунку середніх величин – це характеристика зміни явищ у динаміці, тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або кількох рівнів, зв’язків і залежностей між явищами, виявлення нового, прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.
В статистиці застосовують різні види середніх величин: середню арифметичну, середню гармонічну, середню геометричну, та ін. Вибір конкретного виду середньої величини залежить від характеру вихідних даних.
Критерій правильного вибору форми середньої величини – це запис логічної форми розрахунку. Кожна із зазначених середніх може набувати дві форми – просту і зважену.
Середня арифметична є найбільш поширеним видом середніх величин. Її застосовують тоді, коли загальний обсяг варіюючої ознаки для усієї сукупності становить суму індивідуальних значень усередненої ознаки. Наприклад, загальний збір урожаю цукрових буряків є сумою урожаїв цієї культури з кожного гектара площі, загальний надій молока є сумою надоїв молока від кожної корови і т.д.
Розрізняють середню арифметичну просту і зважену:
Проста
, де
хі – варіанти, тобто значення ознаки і-ї одиниці сукупності;
n – число варіант, тобто обсяг сукупності.
Використовується за первинними, незгрупованими даними, коли відомі чисельник і знаменник дробу.
Зважена
, де
хі – варіанта;
fі – частота (вага) або питома вага (частость).
Використовується за згрупованими даними, коли знаменник дробу логічної формули середньої відомо, а чисельник – ні.
Середню гармонічну використовують для узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти не відомі.
Вона буває простою і зваженою.
Проста:
, де
n – число варіант, тобто обсяг сукупності
хі – варіанта;
Використовується за незгрупованими даними, коли чисельник дробу логічної формули відомо, а знаменник – ні.
Зважена:
, де
Wi = xifi – обсяг значень ознаки.
Використовується за згрупованими даними, коли чисельник дробу логічної формули відомий, а знаменник – ні.
Середню геометричну використовують для обчислення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму, а добуток ознак.
Проста:
, де
П – символ добутку;
хі – ланцюгові темпи зростання в рядах динаміки.
Середня квадратична використовується при визначенні показників варіації.
Проста:
Зважена:
Поряд з цими середніми величинами в статистиці використовують також структурні середні – моду і медіану.
Мода (Мо) – значення варіанти (конкретне значення ознаки, що варіює), яке найчастіше повторюється в ряді розподілу. У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, в інтервальному ряді легко відшукати модальний інтервал, а приблизне значення моди обчислюється за формулою:
,
де
xMo – нижня межа модального інтервалу;
hMo – розмір модального інтервалу;
fMo – частота модального інтервалу;
fMo-1 – частота попереднього інтервалу;
fMo+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.
Звичайно зустрічаються ряди з одним модальним значенням ознаки. Якщо у ряді два або більше модальних значень, він називається відповідно бімодальним та мультимодальним.
Медіана (Ме) – варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.
Так, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме=34, то це означає, що половина з них менші цього віку, половина старші цього віку.
Коли ряд містить парне число членів, медіана дорівнює середній із двох значень розташованих в середині ряду. Для знаходження медіани в дискретному ряді спочатку обчислюють півсуму частот, а потім визначають, яка варіанта припадає на неї. Для інтервального ряду медіану обчислюють за формулою:
,
де
xMe – нижня межа медіанного інтервалу;
hMe – розмір медіанного інтервалу;
(∑f)/2 – півсума частот медіанного інтервалу;
SMе-1 – сума накопичених частот перед медіанним інтервалом;
fMе – частота медіанного інтервалу.
Примітка: медіанний інтервал визначається за графою SMе - накопичена частота.
