3)Тема: Особые точки функции комплексного переменного:

Число особых точек функции   равно … 3

4)Тема: Операции над комплексными числами

Произведение комплексных чисел  и   равно 

Решение: Произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, находится по формуле:  В нашем случае получим 

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если  , то  равно 4.

Решение: Производная функции равна  тогда 

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции  точка   является

полюсом третьего порядка

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Т.к.  то точка  является полюсом третьего порядка.

Тема: Операции над комплексными числами Сумма комплексных чисел и   равна 

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:

удовлетворяют условию …

Решение: Множество  , изображенное на рисунке, ограничено прямыми  Для комплексного числа  : – действительная часть  ,  - мнимая часть, угол наклона прямой  к оси х равен  . Следовательно, комплексные числа  должны удовлетворять условиям .

Тема: Операции над комплексными числами Частное   комплексных чисел   и   равно …

Решение: Частное двух комплексных чисел находится по формуле  . В нашем случае получим

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции   точка   является …

полюсом третьего порядка

Решение: Порядок полюса функции вида   равен порядку нуля  . Так как  , то точка   будет полюсом третьего порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке:

удовлетворяют условию …

Решение: Множество  , изображенное на рисунке, представляет собой круг с центром в точке   и радиусом  . Уравнение окружности радиуса   с центром в точке   имеет вид:  . Следовательно, все точки, принадлежащие множеству  , удовлетворяют неравенству  , или  . Модуль комплексного числа   равен  . Тогда модуль комплексного числа   равен  . Следовательно, точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , удовлетворяют условию  .

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если  , то   равно …

			4
			0

Решение: Производная функции   равна  . Тогда

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции   в точке   равно …

Решение: Производная функции   имеет вид . Тогда 

Тема: Операции над комплексными числами Произведение комплексных чисел

и   равно 

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество  , изображенное на рисунке, ограничено прямыми  . Для комплексного числа   угол наклона прямой   к оси   равен  . Следовательно, комплексные числа  , принадлежащие множеству  , должны удовлетворять условиям 

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если   и  , то мнимая часть производной этой функции   имеет вид …

Решение: Производная функции   равна  . Тогда 

Тема: Операции над комплексными числами Дано комплексное число  . Тогда   равно 16

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции   в точке   равно …

Решение: Производная функции   имеет вид  Тогда

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество  , изображенное на рисунке, ограничено прямыми   и  . Для комплексного числа   угол наклона прямой   к оси  равен  , а прямой  , равен  . Следовательно, комплексные числа  , принадлежащие множеству  , должны удовлетворять условиям  .

Тема: Операции над комплексными числами Сумма комплексных чисел   и   равна …

			13

Решение: Чтобы сложить два комплексных числа   и  , надо сложить их вещественные и мнимые части, то есть  . В нашем случае получим  .

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции   точка   является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида   равен порядку нуля  . Имеем  , поэтому точка   будет полюсом второго порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции   точка   является …

			полюсом третьего порядка
			полюсом второго порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида   равен порядку нуля  . Имеем  , поэтому точка   будет полюсом третьего порядка.

Тема: Операции над комплексными числами Произведение комплексных чисел   и   равно …

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если   и  , то мнимая часть производной этой функции   имеет вид …

Тема: Операции над комплексными числами Значение выражения   равно …

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество  , изображенное на рисунке, ограничено прямыми   и  . Для комплексного числа   угол наклона прямой   к оси  равен  , а прямой  , равен  . Следовательно, комплексные числа  , принадлежащие множеству  , должны удовлетворять условиям  .

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции   точка   является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида   равен порядку нуля  . Имеем  , поэтому точка   будет полюсом второго порядка.

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если   и  , то действительная часть производной этой функции   имеет вид …

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции   точка   является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида   равен порядку нуля  . Так как  , то точка  будет полюсом второго порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки   комплексной плоскости, принадлежащие множеству  , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции   в точке   равно …

Решение: Производная функции   имеет вид

Видеоуроки ЕГЭ

• Математика (1)

• Информатика (2)

• Физика (2)

• Русский язык (0)

• Обществознание (0)

• История (0)

• Английский язык (2)

• Биология (0)

• География (0)

• Химия (0)

• Экономика (1)

Разделы

• Решебники

• Презентации PowerPoint

• Расчетки

• Материалы

• Шпаргалки

• Лабораторные работы

• Разное

• Курсовые

• Дипломы

• Решение задач

• Видеоуроки

СтудентLife

• Новости

• Юмор

• Это интересно

ответы i-exam

• Теория государства и права

• Культурология

• Метрология

• Безопасность жизнедеятельности

• Философия

• Информатика

• КП РФ

• Политология

• История

• Материаловедение i-exam

• Психология и педагогика

• Математика

• Отправка материалов!

• Физика

Посмотри на себя глазами мужчин! Что они думают о тебе? (Тест)

ДЕ7.Дифференциальные уравнения

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений  имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим  , откуда После подстановки во второе уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение этого уравнения имеет вид где  общее решение соответствующего однородного уравнения, а  некоторое частное решение неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня .Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения  .Поскольку правая часть исходного уравнения  , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как   не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде  Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение  , получим  Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид  Дифференцируя полученное решение, находим и  Значит, общее решение системы уравнений имеет вид

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке  образует с осью  угол при  равном   2.

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид  , то угол определяется из равенства  , где  -координаты точки А.

В рассматриваемом случае  ,то есть  . Следовательно 

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения имеет вид 

Решение: Разделим переменные:  . Проинтегрируем обе части уравнения:  Тогда  .Откуда

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения:  . Подставив условие  , получим  и 

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид…

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из второго уравнения находим производную и после подстановки выражений для и  в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение имеет два действительных корня:  Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения  .Дифференцируя полученное решение, находим  Тогда общее решение системы уравнений имеет вид  .

Тема: Поле направлений и изоклины Поле направлений дифференциального уравнения  определяется неравенством …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном….. 4.

Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при  , то есть при  , откуда 

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши  имеет вид …..

Решение: Проинтегрировав обе части уравнения, получим:  . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид  . Для вычисления значения   подставим в найденное общее решение начальное условие  . Тогда   и  . Следовательно, частное решение имеет вид

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид …

Решение: Разделим переменные:  . Проинтегрируем обе части уравнения:  . Тогда  , откуда

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений  имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим  , откуда  . После подстановки во второе уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  .Общее решение этого уравнения имеет вид  , где   – общее решение соответствующего однородного уравнения, а   – некоторое частное решение неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение  имеет два действительных корня:  . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения  . Поскольку правая часть исходного уравнения  , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как   не является корнем характеристического уравнения, то частное решение   неоднородного уравнения будем искать в виде . Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим  . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид  . Дифференцируя полученное решение, находим   и  . Следовательно, общее решение системы уравнений имеет вид  .

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке   образует с осью   угол, равный …

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид  , то искомый угол  определяется из равенства  , где   – координаты точки  . В рассматриваемом случае  , то есть  . Следовательно, 

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши  , имеет вид …

Решение: Сделаем замену  . Тогда  ,   и уравнение запишется в виде  . Разделив переменные, получим: . Проинтегрируем обе части последнего уравнения:  . Сделаем обратную замену:  ; подставим в найденное общее решение начальное условие  . Тогда   и  . Следовательно, частное решение имеет вид 

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши    , имеет вид …

Решение: Выразив   из первого уравнения, можем получить  , откуда  . Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим  , или  , то есть  . Из системы уравнений   находим общее решение системы   Подставив начальные условия, получим:    .Поэтому решение задачи Коши имеет вид 

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке   образует с осью   угол  при   равном…

			2
			14

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид  , то угол  определяется из равенства  , где   – координаты точки  . В рассматриваемом случае  , то есть  . Следовательно, 

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке   образует с осью   угол   при   равном …

Решение: Данное уравнение можно представить в виде  . Действительно,  , или  . Тогда угол   определяется из равенства  , где   – координаты точки  . В рассматриваемом случае  , то есть  . Следовательно, 

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Функция   является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия   частное решение этого уравнения имеет вид …

Решение: Подставив в общее решение начальное условие  , то есть  , получим значение  . Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши    , имеет вид …

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке   образует с осью   угол, равный …

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид  , то искомый угол  определяется из равенства  , где   – координаты точки  . В рассматриваемом случае  , то есть  . Следовательно,  .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши  , имеет вид …

Решение: Сделаем замену  . Тогда  ,   и уравнение запишется в виде  . Разделив переменные, получим: . Проинтегрируем обе части последнего уравнения:  . Сделаем обратную замену:  ; подставим в найденное общее решение начальное условие  . Тогда   и  . Следовательно, частное решение имеет вид  .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид …

Решение: Разделим переменные:  . Проинтегрируем обе части уравнения:  . Тогда  . Откуда

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши    , имеет вид …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид …

Решение: Разделим переменные:  . Проинтегрируем обе части уравнения:  . Тогда  . Откуда  .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее условию  , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения:  . Подставив начальное условие  , получим   и  .

Тема: Поле направлений и изоклины Поле направлений дифференциального уравнения   определяется неравенством …

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений   имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из второго уравнения находим производную   и после подстановки выражений для   и   в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  . Характеристическое уравнение   имеет два действительных корня:  . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения  . Дифференцируя полученное решение, находим  . Тогда общее решение системы уравнений имеет вид 

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее условию  , имеет вид …

Решение: Введем замену  ;  . Тогда уравнение  примет вид  , или  . Пусть  . Тогда  . Подставим найденное значение   в уравнение  . Получим:  , то есть   и  . Общее решение примет вид  . Подставив начальное условие, получим  . Откуда   и частное решение будет иметь вид  .

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений   имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим производную   и после подстановки выражений для   и   во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  . Характеристическое уравнение   имеет два действительных корня:  . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения  . Дифференцируя полученное решение, находим  . Тогда общее решение системы уравнений имеет вид  .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть  , а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением  . Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными  . Разделив переменные, получим  . Проинтегрируем обе части этого уравнения:  . Тогда  ,  . Откуда  ,  .

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение  . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке   образует с осью   угол, равный …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть  , а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением  . Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными  . Разделив переменные, получим  . Проинтегрируем обе части этого уравнения:  . Тогда  ,  . Откуда  ,  .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее условию  , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения:  . Подставив начальное условие  , получим  и

ДЕ8.Теория вероятности

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:  Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно …  0,80

Решение: Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как  , где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда  , а 

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 5 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых шара и 6 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет черным, равна …

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности:  .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар;  – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:  Тогда вероятность   равна …

0,8

Решение: 

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дисперсия дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения вероятностей:  равна 0,06. Тогда значение  равно …

1,5

Решение: Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле  . Тогда

 или  . Решив последнее уравнение, получаем два корня  и 

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение: Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой  где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть  .

А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть  . 

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …

0,856

Решение: Для вычисления вероятности события A (выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу;  – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины Х  функция распределения вероятностей имеет вид: 

Тогда значение параметра   может быть равно …

0,655

Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …

			0

Решение: Для вычисления события   (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой  , где   – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны   элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   и  , то есть  . Следовательно, 

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины  : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра   может быть равно …

			0,7
			1
			0,85
			0,6

Решение: По определению  . Следовательно,   и  . Этим условиям удовлетворяет, например, значение

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина   задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

Решение: Эта случайная величина распределена равномерно в интервале  . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле  . То есть 

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что шар извлечен из первой урны;   – вероятность того, что шар извлечен из второй урны;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны. Тогда  . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса: 

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Решение: Дисперсию дискретной случайной величины   можно вычислить по формуле

. Тогда 

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина   задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение: По определению  . Тогда а) при  ,  , б) при  ,  , в) при  ,  , г) при  ,  , д) при  ,  . Следовательно, 

Тема: Определение вероятности Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …

Решение: Для вычисления события   (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой  , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть  . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть  . Следовательно, 

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн;   – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина   задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность   равна …

			0,5
			0,8
			0,7
			0,1

 ЗАДАНИЕ N 40 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина   задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			3
			2
			1
			0

Решение: Воспользуемся формулой  . Тогда 

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу;   – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина   задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			3
			2
			1
			0

Решение: Воспользуемся формулой  . Тогда  .

Тема: Определение вероятности В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой  , где   – площадь меньшего круга, а   – площадь большего круга. Следовательно, 

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина   задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение   этой случайной величины равны …

Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины   имеет вид  , где  ,  . Поэтому  .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина   задана законом распределения вероятностей: Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений   равна 1, то  . Этому условию удовлетворяет ответ:  .

Тема: Определение вероятности В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой  , где   – площадь меньшего круга, а   – площадь большего круга. Следовательно,  .

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар;   – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар. Тогда 

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины  : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра   может быть равно …

			0,7
			1
			0,85
			0,6

 ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу;   – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу;   – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .

 ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение: Для вычисления события   (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой  , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть  . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть  . Следовательно, 

 ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина   задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

Решение: Дисперсию непрерывной случайной величины   можно вычислить по формуле

Тогда 

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина   задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение: По определению  . Тогда а) при  ,  , б) при  ,  , в) при  ,  , г) при  ,  , д) при  ,  . Следовательно, 

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности:  . Здесь   – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн;   – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн;   – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда  .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина   задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность   равна …

			0,8
			0,3
			0,7
			0,4

Решение: .

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …

			0

Решение: Для вычисления события   (сумма выпавших очков будет равна десяти) воспользуемся формулой  , где   – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны   элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида  ,   и  , то есть  . Следовательно, 

ДЕ9. Математическая статистика

1)Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна … 36,62

Решение: Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна 

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

левостороннюю критическую область

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на   имеет вид .

Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …

Решение: Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

гистограмма частот которой имеет вид:

Тогда значение a равно …

38

Решение: Так как объем выборки вычисляется как   где  то

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …

Тема: Проверка статистических гипотез Основная гипотеза имеет вид  . Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит  .

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  , полигон частот которой имеет вид:

Тогда относительная частота варианты   в выборке равна …  0,05

Решение: Относительная частота   вычисляется по формуле  , где   – частота варианты , а  – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты  как  . Тогда 

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал   для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала  , где точечная оценка математического ожидания  , а точность оценки  . В случае увеличения надежности точность оценки ухудшается, то есть значение   будет больше 0,77.

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема 

Тогда относительная частота варианты   равна …

0,25

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии   на   имеет вид  . Тогда выборочное среднее признака   равно …

Тема: Проверка статистических гипотез Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Решение: Левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением  , где   – отрицательное число, а  – уровень значимости. Таким соотношением является 

Тема: Проверка статистических гипотез Двусторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 0,4. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала  , где точечная оценка математического ожидания  , а точность оценки  . Следовательно, интервальная оценка будет иметь вид 

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  , гистограмма относительных частот которой имеет вид

Тогда значение a равно …

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида   можно определить …

			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет правостороннюю критическую область, так как правосторонней называют критическую область, определяемую соотношением вида  , где   – положительное число, а  – уровень значимости.

Тема: Проверка статистических гипотез Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии   на   имеет вид  . Тогда выборочное среднее признака   равно …

Решение: Выборочное уравнение прямой линии регрессии   на   имеет вид  . Тогда выборочное среднее признака   равно  .

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал   для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

			1,12
			0,01
			2,24
			13,56

Тема: Статистическое распределение выборки Статистическое распределение выборки имеет вид Тогда значение относительной частоты   равно …

			0,25
			0,05
			0,26
			0,75

Решение: Сумма относительных частот равна единице. Поэтому  .

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши    , имеет вид …

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии   на   имеет вид  . Тогда выборочное среднее признака   равно …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал   для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала  , где точечная оценка математического ожидания  , а точность оценки  . В случае увеличения надежности точность оценки ухудшается, то есть значение   будет больше 0,77.

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  : Тогда относительная частота варианты   равна …

			0,25
			0,75
			0,24
			0,04

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида   можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида  , где   – положительное число, а  – уровень значимости.

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии   на   имеет вид  , а выборочные средние квадратические отклонения равны:  . Тогда выборочный коэффициент корреляции   равен …

Решение: Выборочный коэффициент корреляции   можно вычислить из соотношения  . Тогда  .

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида   можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал   для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

			36,62
			36,52
			9,12
			73,24

Решение: Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна  .

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  , полигон относительных частот которой имеет вид: Тогда число вариант   в выборке равно …

			37
			63
			100
			36

Решение: Вычислим предварительно относительную частоту варианты   как  . Тогда из определения относительной частоты  , получаем, что

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  , полигон частот которой имеет вид: Тогда число вариант   в выборке равно …

			32
			82
			8
			31

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида   можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал   для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

			36,62
			36,52
			9,12
			73,24

Тема: Элементы корреляционного анализа При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции   и выборочные средние квадратические отклонения  . Тогда выборочный коэффициент регрессии   на   равен …

Решение: Выборочный коэффициент регрессии   на   вычисляется по формуле  . Тогда 

Тема: Статистическое распределение выборки Статистическое распределение выборки имеет вид Тогда объем выборки равен …

			67
			40
			5
			107

Решение: Объем выборки вычисляется по формуле  , где   – частота варианты  . Тогда  .

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида   можно определить …

			левостороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет левостороннюю критическую область, так как левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением  , где   – положительное число, а  – уровень значимости.

ДЕ-10 Элементы комбинаторики

Тема: Элементы комбинаторики Сколько чисел меньших, чем миллион можно написать с помощью цифр 3 и 7?

126 |

Решение: С помощью двух различных цифр можно записать – шестизначных чисел, ,   – пятизначных ,  - четырехзначных  трехзначных чисел двузначных чисел,  – однозначных чисел. Просуммируем эти композиции 

Тема: Неориентированные графы Матрица смежности графа, изображенного на рисунке

имеет вид …

Решение: Матрицей смежности графа называют квадратную матрицу  размера , строкам и столбцам которой соответствуют вершины помеченного графа (первый столбец (строка) отвечает первой вершине и т.д.), а ее элементы равны количеству ребер, инцидентных вершинам с номерами i и j. Согласно определению составляем матрицу смежности

Тема: Операции над высказываниями Нулевой набор у формулы  получается при следующих значениях переменных …  , 

Тема: Декартово произведение множеств Пусть заданы два множества:  ,

Тогда геометрическая интерпретация множества  имеет вид …

Тема: Элементы комбинаторики Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

12 |

Решение: 12 разбойников разбиваются на две группы по 6 не враждующих между собой человек. Атаман может выбрать 5 человек из первой группы способами или 5 человек из второй группы тоже  способами. Тогда по правилу суммы получим:  способов выбора 5 разбойников.

Тема: Операции над высказываниями Отрицание высказывания равносильно высказыванию …

Решение: Высказывание   означает: неправда что х положительно, а значит

Тема: Неориентированные графы Эйлеровым является граф …

Решение: Эйлеровым называют граф содержащий эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он простой и содержит все ребра графа. Критерий эйлеровости графа: граф называется Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные. Из представленных графов только этот граф имеет четные степени всех вершин.

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение отрезка  на отрезок  ….является прямоугольником с вершинами 

Решение: Декартовым произведением отрезка на отрезок является прямоугольник с вершинами 

Тема: Элементы комбинаторики На 10 карточках написаны буквы так, что из этих карточек можно получить слово ИСЧИСЛЕНИЕ. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать с помощью этих десяти карточек?

151200 |

Решение: Разобьем карточки на группы. Первая группа содержит букву И. Элементы ее неразличимы. Число элементов первой группы  . Вторую группу образуют карточки с буквой С. Число элементов второй группы  . Третью группу образуют карточки с буквой Ч. Число элементов этой группы  . Четвертую группу образуют карточки с буквой Л, число элементов  . Пятую группу образуют карточки с буквой Е. Число элементов  . Шестая группа состоит из карточек с буквой Н. Количество элементов этой группы  . Число различных 10-буквенных слов, образованных этими 10 карточками, совпадает с числом различных перестановок с повторениями и равно

Тема: Неориентированные графы Из представленных графов полным является граф …

Решение: Полным называют граф без петель и кратных ребер, в котором любые две вершины соединены ребром.

Тема: Операции над высказываниями Из трех логических выражений: эквивалентными являются … и 

Решение: Составим таблицы истинности для  Сопоставляя таблицы, видим, что   не эквивалентна формулам   и  , а   и   эквивалентны.

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение   множеств   и   равно …

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение множеств   и   представляет собой …

окружность  , лежащую в плоскости

Тема: Неориентированные графы Для графа, изображенного на рисунке, степень вершины   равна …

			5
			4
			3
			1

Решение: Степенью вершины называют удвоенное количество петель, инцидентных этой вершине, плюс количество остальных инцидентных ей ребер. То есть степень вершины  равна пяти.

Тема: Элементы комбинаторики На школьном вечере присутствуют 5 девушек и 6 юношей. Выбрать из них 2 пары для танца можно ___ способом(-ами).

300 |

Решение: Сначала в произвольном порядке выбираем двух юношей из шести   способами (сочетания 2 из 6), затем выбираем для них девушек, причем теперь порядок выбора важен. Число способов выбрать двух девушек из пяти равно   (размещения 2 из 5). Тогда число способов для выбора двух пар по правилу произведения равно:

Тема: Операции над высказываниями На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Тогда логику …

			изучал третий учащийся
			изучал второй учащийся
			изучал первый учащийся
			никто из учащихся не изучал

Решение: Обозначим через a, b, c высказывания, состоящие соответственно в том, что первый, второй, третий учащиеся изучали логику. Запишем условие задачи с помощью a, b, cи логических операций. Получим выражение  . Известно, что это высказывание истинно. Составим таблицу истинности полученного выражения: Только в предпоследней строке получившееся выражение принимает истинное значение, а все остальные значения ложны. При этом высказывания a и b ложны, а c – истинно. Значит, логику изучал только третий учащийся.

Тема: Операции над высказываниями Высказывание « » означает, что …

			« – любое число»
			«  принадлежит интервалу  »
			«  принадлежит промежутку  »
			«  не существует»

Решение: Высказывание « » – это дизъюнкция двух неравенств, и решением является объединение промежутков:  . То есть  – любое число.

Тема: Декартово произведение множеств Даны множества  ,   и  . Тогда число элементов декартова произведения множеств   равно…

			24
			10
			2
			12

Решение: Декартово произведение множеств – это множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, первым элементом которых являются элементы первого множества, вторым – элементы второго, то есть  Множество, состоящее из шести элементов, умножается на множество из четырех элементов, тогда по свойству декартова произведения получается множество, состоящее из 24 элементов.

Тема: Неориентированные графы Для графа, изображенного на рисунке, гамильтоновым циклом является маршрут …

Решение: Цикл называется гамильтоновым, если он простой и содержит все вершины графа. Для данного графа гамильтоновым циклом служит, например, маршрут

Тема: Неориентированные графы Матрица смежности графа, изображенного на рисунке имеет вид …

Решение: Матрицей смежности графа называют квадратную матрицу   размера  , строкам и столбцам которой соответствуют вершины помеченного графа (первый столбец (строка) отвечает первой вершине и т.д.), а ее элементы   равны количеству ребер, инцидентных вершинам с номерами i и j. Согласно определению составляем матрицу смежности 

Тема: Декартово произведение множеств Даны множества  ,   и  . Тогда число элементов декартова произведения множеств   равно…

			24
			10
			2
			12

Решение: Декартово произведение множеств – это множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, первым элементом которых являются элементы первого множества, вторым – элементы второго, то есть  Множество, состоящее из шести элементов, умножается на множество из четырех элементов, тогда по свойству декартова произведения получается множество, состоящее из 24 элементов.

Тема: Элементы комбинаторики Сколько чисел меньших, чем миллион можно написать с помощью цифр 3 и 7?

126 |

Решение: С помощью двух различных цифр можно записать   – шестизначных чисел,   – пятизначных чисел,   – четырехзначных чисел,   – трехзначных чисел,   – двузначных чисел,   – однозначных чисел. Просуммируем эти композиции  .

Тема: Операции над высказываниями Формулой, равносильной формуле  , является …

Решение:

Тема: Операции над высказываниями Таблица истинности для формулы  представляет собой …

Решение:

Тема: Неориентированные графы Эйлеровым является граф …

Решение: Эйлеровым называют граф содержащий эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он простой и содержит все ребра графа. Критерий эйлеровости графа: граф называется Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные. Из представленных графов только граф имеет четные степени всех вершин.

Тема: Операции над высказываниями Высказывание « » означает, что …

			« – любое число»
			«  принадлежит интервалу  »
			«  принадлежит промежутку  »
			«  не существует»

Решение: Высказывание « » – это дизъюнкция двух неравенств, и решением является объединение промежутков:  . То есть  – любое число.

Тема: Элементы комбинаторики В урне находятся 10 белых, 15 красных, 20 голубых шаров. Все шары пронумерованы. Сколькими различными способами можно взять из урны три шара разных цветов?

3000 |

Решение: Возьмем один белый шар. Это действие можно выполнить 10 способами (по числу различных белых шаров в урне). К выбранному белому шару присоединим красный шар, который можно взять 15 различными способами (по числу различных красных шаров в урне). К выбранной присоединим голубой шар, который можно взять 20 способами (по числу различных голубых шаров в урне). Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно:

Тема: Неориентированные графы Для графа G, изображенного на рисунке, матрица смежности имеет вид …

Тема: Операции над высказываниями Отрицанием высказывания «Если я сдам зачет, то пойду в кафе с друзьями или на вечеринку» является высказывание:

			«Я сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку»
			«Если я не сдам зачет, то не пойду в кафе с друзьями или не пойду на вечеринку»
			«Если я не сдам зачет, то, несмотря ни на что, пойду в кафе с друзьями или на вечеринку»
			«Я не сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку»

Решение: Введем простые высказывания: A – «я сдам зачет», B – «пойду в кафе с друзьями», C– «пойду на вечеринку». Тогда высказывание «Если я сдам зачет, то пойду в кафе с друзьями или на вечеринку» имеет вид  . Отрицание этого высказывания  . Получаем высказывание: «Я сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку».

Тема: Элементы комбинаторики Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения вынимают по одной карте 3 раза. Сколько существует различных способов получения трех карт, среди которых на первых двух местах – бубны, а на третьем – пики.

648 |

Решение: В колоде 9 бубен и 9 пик. Получение тройки карт «бубны, бубны, пики» можно рассматривать как результат двух действий. Первое действие – получение на первых картах «бубны, бубны». Поскольку порядок карт существенен, то число различных способов осуществления первого действия совпадает с числом размещений из 9 элементов по 2:  . Второе действие – взятие «пики» на третьем месте. Число способов выполнить второе действие равно 9 (по количеству «пик»). По правилу умножения, получим:  .

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение отрезка   на отрезок   …

			является прямоугольником с вершинами
			является отрезком
			равно 2
			равно 13

Решение: Декартовым произведением отрезка   на отрезок   является прямоугольник с вершинами

Тема: Неориентированные графы Матрица инцидентности графа, изображенного на рисунке имеет вид …

Тема: Элементы комбинаторики В урне находятся 5 белых, 7 красных, 6 голубых шаров. Сколько существует способов извлечь 9 шаров так, чтобы среди них оказалось 2 белых, 3 красных и 4 голубых шара?

5250 |

Решение: Всего в урне 18 шаров. Сначала выберем два белых шара из 5 белых шаров. Это действие можно выполнить   способами. Второе действие состоит в выборе трех красных шаров из 7 красных шаров. Это действие можно выполнить   способами. Третье действие состоит в выборе четырех голубых шаров. Оно может быть выполнено  способами. По правилу умножения получим: