ЗАДАНИЕ
N 1
Тема:
Проверка статистических гипотез
Соотношением
вида 
можно
определить …
|
|
|
правостороннюю критическую область |
|
|
|
левостороннюю критическую область |
|
|
|
двустороннюю критическую область |
|
|
|
область принятия гипотезы |
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Элементы корреляционного анализа
При
построении выборочного уравнения парной
регрессии вычислены выборочный
коэффициент корреляции 
и
выборочные средние квадратические
отклонения 
.
Тогда выборочный коэффициент
регрессии 
на 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Статистическое распределение выборки
Из
генеральной совокупности извлечена
выборка объема 
,
гистограмма частот которой имеет
вид:
Тогда
значение a равно
…
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ
N 4
Тема:
Интервальные оценки параметров
распределения
Дан
доверительный интервал 
для
оценки математического ожидания
нормально распределенного количественного
признака. Тогда при уменьшении объема
выборки этот доверительный интервал
может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Доверительный
интервал для оценки математического
ожидания нормально распределенного
количественного признака можно
представить в виде симметричного
интервала 
,
где точечная оценка математического
ожидания 
,
а точность оценки 
.
В случае уменьшения объема выборки
точность оценки ухудшается, то есть
значение 
будет
больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями
Из
трех логических выражений:
эквивалентными
являются …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
все функции |
и 
и
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Элементы комбинаторики
Из
города 
в
город 
ведут
5 дорог, из
в 
–
3 дороги, имеются также 2 дороги из
в
,
минуя
.
Из
в
можно
попасть ____ способом(-ами).
|
17
| |
Решение:
Из
города
в
город
можно
попасть 
способами,
из
в
–
с помощью 
способов.
Тогда из
в
через
можно
попасть 
способами
(по правилу произведения); а из
в
,
минуя
,
можно попасть 
способами.
Поэтому
по правилу суммы общее число способов,
которыми можно попасть из города
в
город
,
равно: 
.
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Декартово произведение множеств
Пусть
заданы два множества:
, 
.
Тогда
геометрическая интерпретация
множества 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Неориентированные графы
Эйлеровым является граф …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория
движущейся точки задается уравнением 
Тогда
значение касательного ускорения в
момент 
равно
…
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение:
Касательное
ускорение на параметрически заданной
кривой вычисляется как
.
Вычислим
производные первого и второго
порядка.
Найдем 
,
при любых значениях 
.
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка
с координатами 
на
поверхности 
является
…
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение:
Тип
точки на поверхности определяется по
виду соприкасающегося параболоида в
этой точке к поверхности.
Построим
соприкасающийся параболоид:
.
Вычислим
частные производные второго
порядка:
; 
; 
.
В
точке
; 
; 
.
Тогда
соприкасающийся параболоид 
является
гиперболическим параболоидом, а сама
точка
относится
к гиперболическому типу.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты
кривой 
имеют
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 
и
Решение:
Кривая
описывается соотношением 
,
то есть функция представлена в явном
виде.
В точке
функция
имеет разрыв, поэтому уравнение
вертикальной асимптоты имеет
вид:
.
Наклонные
или горизонтальные асимптоты определяются
уравнением 
(для
горизонтальных асимптот 
).
1.
Находим асимптоту 
при 
(правую
асимптоту):
,
.
Следовательно,
уравнение правой асимптоты имеет
вид:
.
2.
Аналогично находим асимптоту 
при 
(левую
асимптоту):
,
.
Следовательно,
уравнение левой асимптоты совпадает с
уравнением правой асимптоты и имеет
вид:
.
Таким
образом, прямые
и
являются
асимптотами заданной кривой.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Основные понятия топологии
Внешностью
множества 
в
топологическом пространстве 
с
топологией 
является
…
|
|
|
пустое множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для
функции 
точка 
является
точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное
значение функции 
при 
,
вычисленное с использованием дифференциала
первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная
производная 
функции 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле
направлений дифференциального
уравнения 
определяется
неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как поле направлений дифференциального
уравнения 
задано
в области определения функции двух
переменных 
,
то для нахождения области задания поля
направлений следует решить
неравенство 
.
Тогда
.
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее
решение системы дифференциальных
уравнений 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция 
является
общим решением дифференциального
уравнения 1-го порядка. Тогда для
начального условия 
частное
решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное
уравнение 
будет
уравнением с разделяющимися переменными
при значении 
,
равном …
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
Решение:
Данное
уравнение можно представить в виде 
.
Это уравнение будет уравнением с
разделяющимися переменными при 
,
то есть при 
.
Откуда 
.
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение:
Для
вычисления события
(сумма
выпавших очков будет не меньше девяти)
воспользуемся формулой 
,
где 
–
общее число возможных элементарных
исходов испытания, а m –
число элементарных исходов,
благоприятствующих появлению события A.
В нашем случае возможны 
элементарных
исходов испытания, из которых
благоприятствующими являются исходы
вида 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
,
то есть 
.
Следовательно, 
.
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная
случайная величина
задана
плотностью распределения вероятностей:
Тогда
ее математическое ожидание равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,1. Тогда вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита, равна …
|
|
|
0,0081 |
|
|
|
0,081 |
|
|
|
0,06 |
|
|
|
0,0729 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются четыре урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров, и шесть урн, содержащих по 8 белых и 2 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой серии урн, равна …
|
|
|
0,20 |
|
|
|
0,80 |
|
|
|
0,72 |
|
|
|
0,40 |
Решение:
Предварительно
вычислим вероятность события A (вынутый
наудачу шар – белый) по формуле полной
вероятности: 
.
Здесь 
–
вероятность того, что шар извлечен из
первой серии урн; 
–
вероятность того, что шар извлечен из
второй серии урн; 
–
условная вероятность того, что вынутый
шар белый, если из он извлечен из первой
серии урн; 
–
условная вероятность того, что вынутый
шар белый, если из он извлечен из второй
серии урн.
Тогда 
.
Теперь
вычислим условную вероятность того,
что этот шар был извлечен из первой
серии урн, по формуле Байеса:
.
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Мера плоского множества
Мера
плоского множества 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Метрические пространства
Расстояние
между точками 
и 
в
метрике 
,
где 
и 
,
равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Элементы теории множеств
Даны
три множества: 
, 
и 
.
Тогда число элементов множества 
равно
…
|
1 | |
Решение:
Определим
множество 
и
выполним операцию пересечения 
.
В результате получится множество 
,
состоящее из одного элемента.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Отображение множеств
Пусть
задано отображение 
.
Тогда 
представляет
собой …
|
|
|
единичную окружность |
|
|
|
отрезок |
|
|
|
квадрат |
|
|
|
гиперболу |
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Линейные отображения
Пусть 
–
базис пространства 
.
Операторы 
и 
этого
пространства заданы матрицами 
; 
.
Тогда матрица оператора 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Основные алгебраические структуры
Обратным
элементом для матрицы 
относительно
операции сложения матриц является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Дробно-рациональные функции
Множество
всех дробно-рациональных функций
образует поле 
относительно
обычных операций сложения и умножения
таких функций.
Пусть 
и 
,
причем 
и 
Тогда
числитель суммы 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Разложим
на линейные множители знаменатели
дробно-рациональных функций 
и 
:
Тогда
То
есть, числитель суммы
равен
.
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Группы и подгруппы
На множестве целых чисел группу образует операция * определенная как …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Кривые второго порядка
Уравнение
директрисы параболы, проходящей через
точки 
, 
и
симметричной относительно оси 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Каноническое
уравнение параболы, проходящей через
начало координат и симметричной
относительно оси
имеет
вид: 
,
а уравнение директрисы: 
.
Параметр 
находится
из условия, что точка
принадлежит
параболе, то есть 
, 
.
Тогда уравнение директрисы параболы
примет вид:
.
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точки 
и 
лежат
на одной прямой, параллельной оси
ординат. Расстояние между точками
и 
равно
6. Тогда положительные координаты
точки
равны
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
, 
, 
Решение:
Точки,
лежащие на одной прямой, параллельной
оси OY, имеют одинаковые абсциссы,
следовательно,
и 
.
Расстояние между двумя точками 
и 
находится
по формуле 
.
Тогда расстояние между точками
и
можно
найти как 
.
Из
условия 
,
получаем 
,
или 
.
Следовательно, 
; 
.
Тогда положительные координаты
точки
равны:
,
.
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение
плоскости, проходящей через
точку 
параллельно
векторам 
и 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Уравнение
плоскости, проходящей через точку 
с
нормальным вектором 
,
имеет вид: 
.
В качестве нормального вектора плоскости
возьмем векторное произведение
векторов 
и 
.
Тогда 
,
или 
.
Подставляя в уравнение плоскости
координаты точки
и
вектора 
,
получим: 
или
.
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Прямая линия в пространстве
Острый
угол между прямыми 
и 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Угол
между прямыми 
и 
определяется
как угол между их направляющими
векторами: 
и 
,
который можно вычислить по
формуле:
.
Тогда 
,
то есть 
.
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Число
особых точек функции 
равно
…
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
Решение:
Для
функции
точки 
–
полюсы первого порядка,
–
полюс первого порядка.
Следовательно,
число особых точек равно трем.
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если 
и 
,
то мнимая часть производной этой
функции 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Области на комплексной плоскости
Все
точки 
комплексной
плоскости, принадлежащие множеству
,
изображенному на рисунке,
удовлетворяют
условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Операции над комплексными числами
Дано
комплексное число 
.
Тогда 
равно
…
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение:
Если
комплексное число 
в
тригонометрической форме имеет вид 
,
то по формуле Муавра 
,
где 
–
натуральное число.
Запишем число
в
тригонометрической форме:
1) находим
модуль числа 
;
2)
составляем систему уравнений для
нахождения аргумента 
и
главного значения аргумента:
3)
находим главное значение аргумента
комплексного числа
,
которое равно
;
4)
тогда 
.
Следовательно, 
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Решение
задачи Коши 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Решим
систему дифференциальных уравнений
методом исключения.
Из второго
уравнения находим 
,
откуда
;
после подстановки в первое уравнение
системы получим линейное неоднородное
дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами 
.
Характеристическое уравнение 
имеет
два действительных корня: 
.
Таким корням соответствует общее решение
однородного дифференциального
уравнения 
.
Поскольку
правая часть исходного уравнения 
,
то имеем уравнение со специальной правой
частью.
Так как 
не
является корнем характеристического
уравнения, то частное решение 
неоднородного
уравнения будем искать в виде 
.
Найдя
производные первого и второго порядков
и подставив в уравнение 
,
получим 
.
Тогда
общее решение этого уравнения имеет
вид 
.
Дифференцируя полученное решение,
находим 
и
Значит,
общее решение системы уравнений имеет
вид 
.
Найдем
значения произвольных постоянных 
и 
,
соответствующих исходной задаче Коши,
подставляя начальные условия в общее
решение. Получим систему уравнений 
или 
Решая
эту систему, находим значения постоянных
величин 
.
Поэтому
решение задачи Коши имеет вид 
.
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 
,
,
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное
решение дифференциального уравнения 
,
удовлетворяющее условию 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Введем
замену 
; 
.
Тогда уравнение
примет
вид 
,
или 
.
Пусть 
.
Тогда 
.
Подставим найденное значение 
в
уравнение
.
Получим: 
,
то есть 
и 
.
Общее
решение примет вид 
.
Подставив начальное условие,
получим 
.
Откуда 
и
частное решение будет иметь вид
.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Элементы теории множеств
Даны
два множества: 
и 
.
Тогда количество целых значений 
,
принадлежащих разности множеств
\
,
равно …
|
4 |
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Отображение множеств
Пусть
задано отображение 
.
Тогда 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Метрические пространства
Функция 
,
где 
–
действительные числа, …
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Мера плоского множества
Мера
плоского множества 
равна
…
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Следовательно, мера этого множества равна 4.
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение
плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Прямая линия в пространстве
Точка
пересечения прямой 
и
плоскости 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Запишем
уравнение прямой в параметрическом
виде:
,
то есть 
.
Подставим
полученные уравнения в уравнение
плоскости
.
Тогда 
,
или 
.
Подставляя значение параметра
в
систему параметрических уравнений 
,
найдем координаты точки пересечения
прямой и плоскости
.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
В
треугольнике с вершинами 
, 
и 
проведена
медиана 
,
длина которой равна …
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
Решение:
Точка
является
серединой отрезка 
.
Координаты середины отрезка определяются
по формулам 
, 
.
Подставляя в эти формулы координаты
точек
и
,
получим координаты точки
: 
, 
.
Расстояние между точками
и
можно
найти по формуле 
.
То
есть 
.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Кривые второго порядка
Асимптоты
гиперболы 
задаются
уравнениями …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Асимптоты
гиперболы 
задаются
уравнениями вида 
.
Разделив обе части уравнения
на
36, получим каноническое уравнение
гиперболы: 
.
То есть 
и 
.
Тогда уравнения асимптот примут вид
.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Статистическое распределение выборки
Из
генеральной совокупности извлечена
выборка объема 
,
полигон относительных частот которой
имеет вид:
Тогда
число вариант 
в
выборке равно …
|
|
|
37 |
|
|
|
63 |
|
|
|
100 |
|
|
|
36 |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Проверка статистических гипотез
Основная
гипотеза имеет вид 
.
Тогда конкурирующей может являться
гипотеза …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Элементы корреляционного анализа
Выборочное
уравнение прямой линии регрессии 
на 
имеет
вид 
.
Тогда выборочное среднее признака
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выборочное
уравнение прямой линии регрессии
на
имеет
вид 
.
Тогда выборочное среднее признака
равно 
.
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если 
,
то 
равно
…
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Области на комплексной плоскости
Все
точки
комплексной
плоскости, принадлежащие множеству
,
изображенному на рисунке:
удовлетворяют
условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Операции над комплексными числами
Если 
и 
–
корни квадратного уравнения 
,
то 
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для
функции 
точка 
является
…
|
|
|
полюсом второго порядка |
|
|
|
полюсом третьего порядка |
|
|
|
полюсом первого порядка |
|
|
|
существенно особой точкой |
Решение:
Порядок
полюса функции вида 
равен
порядку нуля 
.
Так
как 
,
то точка
будет
полюсом второго порядка.
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты
кривой 
имеют
вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
и |
и
Решение:
Кривая
описывается соотношением 
,
то есть функция представлена в явном
виде.
В точке
функция
имеет разрыв второго рода, поэтому
уравнение вертикальной асимптоты имеет
вид:
.
Наклонные
или горизонтальные асимптоты определяются
уравнением
(для
горизонтальных асимптот
).
1.
Находим асимптоту
при
(правую
асимптоту):
,
.
Следовательно,
уравнение правой асимптоты имеет
вид:
.
2.
Аналогично находим асимптоту
при
(левую
асимптоту):
,
.
Следовательно,
уравнение левой асимптоты совпадает с
уравнением правой асимптотой и имеет
вид:
.
Таким
образом, прямые
и
являются
асимптотами заданной кривой.
Математика i-exam вариант 4
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Области на комплексной плоскости
Все
точки
комплексной
плоскости, принадлежащие множеству
,
изображенному на рисунке:
удовлетворяют
условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Операции над комплексными числами
Произведение
комплексных чисел 
и 
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если , то равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Производная
функции
равна 
.
Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для
функции 
точка
является
…
|
|
|
полюсом третьего порядка |
|
|
|
полюсом второго порядка |
|
|
|
полюсом первого порядка |
|
|
|
существенно особой точкой |
Решение:
Порядок
полюса функции вида
равен
порядку нуля
.
Имеем 
,
поэтому
точка
будет
полюсом третьего порядка.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее
решение системы дифференциальных
уравнений 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Решим
систему дифференциальных уравнений
методом исключения.
Из второго
уравнения находим производную 
и
после подстановки выражений для
и 
в
первое уравнение системы получим
линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами 
.
Характеристическое
уравнение 
имеет
два действительных корня: 
.
Таким
корням соответствует общее решение
однородного дифференциального
уравнения 
.
Дифференцируя полученное решение,
находим 
.
Тогда
общее решение системы уравнений имеет
вид
.
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное
уравнение 
будет
уравнением с разделяющимися переменными
при значении
,
равном …
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Решение:
Данное
уравнение можно представить в виде: 
.
Это
уравнение будет уравнением с разделяющимися
переменными при 
,
то есть при
.
Откуда
.
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Поле направлений и изоклины
Дано
дифференциальное уравнение 
.
Тогда отрезок соответствующего ему
поля направлений в точке 
образует
с осью
угол
при 
равном…
|
|
|
2 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как дифференциальное уравнение имеет
вид 
,
то угол
определяется
из равенства 
,
где 
–
координаты точки
.
В
рассматриваемом случае 
,
то есть 
.
Следовательно,
.
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Решение
задачи Коши 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дробно-рациональные функции
Разложение
дробно-рациональной функции 
на
простые дроби над полем вещественных
чисел имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Основные алгебраические структуры
Алгеброй является …
|
|
|
множество рациональных чисел и операция умножения |
|
|
|
пустое множество и операция пересечения |
|
|
|
множество натуральных чисел и операция векторного произведения |
|
|
|
множество целых чисел и отношение порядка |
Решение:
Алгеброй
называется пара 
,
состоящая из непустого множества
и
множества 
,
заданных на нем операций.
Тогда пустое
множество и операция пересечения не
являются алгеброй, так как множество
не
может быть пустым.
Множество натуральных
чисел и операция векторного произведения
не являются алгеброй, так как операция
векторного произведения задается на
множестве векторов, а не на множестве
натуральных чисел.
Множество целых
чисел и отношение порядка не являются
алгеброй, так как не задана ни одна
операция.
Множество рациональных
чисел и операция умножения являются
алгеброй.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Группы и подгруппы
Операция «+» – сложения образует группу на множестве …
|
|
|
целых четных чисел |
|
|
|
натуральных чисел |
|
|
|
целых нечетных чисел |
|
|
|
действительных чисел без нуля |
Решение:
Множество
целых четных чисел с введенной операцией
сложения образует группу. Множество
натуральных чисел не группа, так как,
например, 
не
имеет противоположного элемента.
Множество целых нечетных не имеет
нулевого элемента, как и множество
действительных чисел без нуля.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Линейные отображения
Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Линейным
называется отображение
удовлетворяющее
условиям:
,
.
Проверим
на линейность отображение
:
,
,
Следовательно 
–
первое условие не выполнено, а значит
не
является линейным отображением.
Для
отображения
проверим
выполнение второго условия:
Условие
не выполняется, значит
не
линейное отображение.
Проверим
выполнение второго условия для
отображения
:
Следовательно,
данное отображение не является
линейным.
Проверим выполнение условий
линейности для отображения
:
,
,
Следовательно 
–
первое условие выполнено.
–
второе условие выполнено. Поэтому
является
линейным отображением.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Прямая линия в пространстве
Прямая 
параллельна
плоскости 
,
если параметр 
равен
…
|
|
|
– 11 |
|
|
|
– 7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
11 |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Кривые второго порядка
Уравнением
кривой второго порядка 
на
плоскости определяется …
|
|
|
эллипс |
|
|
|
гипербола |
|
|
|
парабола |
|
|
|
пара пересекающихся прямых |
Решение:
Выделим
в уравнении
полный
квадрат по переменной
: 
,
или 
.
Разделив обе части этого уравнения на
10, получим уравнение вида: 
,
которое на плоскости определяет эллипс.
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны
точки 
и 
.
Тогда координаты точки 
,
симметричной точке
относительно
точки
,
равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Плоскость в пространстве
Плоскость,
проходящая через точки 
и 
параллельно
оси 
,
задается уравнением …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Общее
уравнение плоскости, параллельной
оси
,
имеет вид: 
.
Точки
и
лежат
в искомой плоскости, следовательно, их
координаты удовлетворяют уравнению
: 
,
отсюда 
, 
.
Подставим найденные значения в уравнение
плоскости: 
или 
,
то есть
.
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная
случайная величина
задана
законом распределения вероятностей:
Тогда
вероятность 
равна
…
|
|
|
0,8 |
|
|
|
0,3 |
|
|
|
0,7 |
|
|
|
0,4 |
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
|
|
|
0,05 |
Решение:
Предварительно
вычислим вероятность события A (выданный
кредит не будет погашен в срок) по формуле
полной вероятности:
.
Здесь
–
вероятность того, что кредит был выдан
юридическому лицу;
–
вероятность того, что кредит был выдан
физическому лицу;
–
условная вероятность того, что кредит
не будет погашен в срок, если он был
выдан юридическому лицу;
–
условная вероятность того, что кредит
не будет погашен в срок, если он был
выдан физическому лицу. Тогда
.
Теперь
вычислим условную вероятность того,
что этот кредит не погасило физическое
лицо, по формуле Байеса:
.
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Математическое
ожидание дискретной случайной величины
,
заданной законом распределения
вероятностей:
равно
4,4. Тогда значение вероятности 
равно
…
|
|
|
0,7 |
|
|
|
0,3 |
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,4 |
Решение:
Математическое
ожидание дискретной случайной величины
вычисляется по формуле 
.
Тогда 
.
А с учетом условия 
получаем
систему уравнений:
решение
которой имеет вид: 
, 
.
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Проверка статистических гипотез
Для
проверки нулевой гипотезы 
при
заданном уровне значимости 
выдвинута
конкурирующая гипотеза 
.
Тогда область принятия гипотезы может
иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Элементы корреляционного анализа
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выборочный
коэффициент регрессии
на
вычисляется
по формуле 
.
Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Отображение множеств
Отображение 
действует
по правилу: 
Тогда 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как 
при 
и 
при 
,
то 
.
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Элементы теории множеств
Даны
три множества: 
, 
и 
.
Тогда число элементов множества 
равно
…
|
3 | |
Решение:
Выполним
операцию в скобках, то есть определим
множество 
.
Теперь выполним вычитание, в результате
которого получится множество чисел,
принадлежащих 
,
но без чисел множества
: 
.
Таким образом, множество
содержит
три элемента.
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Мера плоского множества
Мера
плоского множества 
,
где А=
и 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Решение:
Мера
плоского множества
равна
площади соответствующей фигуры, то есть
квадрата со стороной 2. Мера плоского
множества 
равна
площади соответствующей фигуры, то есть
круга с радиусом 1. Так как круг целиком
лежит внутри квадрата, то искомая мера
равна
.
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дана
функция 
.
Тогда меньший действительный корень
производной этой функции принадлежит
промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Эта
функция представляет собой полином
6-го порядка и дифференцируема на всей
числовой оси. Согласно теореме Ролля
между двумя корнями (нулями) этой функции
находится по крайней мере один корень
ее производной. Поскольку 
представляет
собой полином (5-го порядка), то между
двумя корнями функции 
находится
ровно один корень ее производной
.
Найдем
корни функции
: 
.
Тогда меньший действительный корень
функции
принадлежит
интервалу
.
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение:
Вычислим
односторонние пределы функции
в
точке
:
,
.
Так
как один из односторонних пределов в
точке
,
а именно 
,
то точка
является
точкой разрыва второго рода.
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная
производная второго порядка 
функции 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной
функции 
по
одной из переменных другую переменную
рассматриваем как постоянную величину.
Тогда
.
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Элементы комбинаторики
В урне находятся 10 белых, 15 красных, 20 голубых шаров. Все шары пронумерованы. Сколькими различными способами можно взять из урны три шара разных цветов?
|
3000 | |
Решение:
Возьмем
один белый шар. Это действие можно
выполнить 10 способами (по числу различных
белых шаров в урне). К выбранному белому
шару присоединим красный шар, который
можно взять 15 различными способами (по
числу различных красных шаров в урне).
К выбранной присоединим голубой шар,
который можно взять 20 способами (по
числу различных голубых шаров в урне).
Таким образом, можно образовать различные
тройки разноцветных шаров. Число
различных способов выбора троек
разноцветных шаров совпадает с числом
различных трех действий и по правилу
умножения равно:
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Операции над высказываниями
Для
функции 
,
заданной таблицей,
СДНФ
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
СДНФ
будет выглядеть следующим образом:
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Неориентированные графы
Для
графа, изображенного на
рисунке,
последовательность 
является
…
|
|
|
маршрутом |
|
|
|
цепью |
|
|
|
циклом |
|
|
|
деревом |
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Декартово произведение множеств
Даны
множества 
, 
и 
.
Тогда число элементов декартова
произведения множеств 
равно…
|
|
|
8 |
|
|
|
6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
4 |
Решение:
Декартово
произведение множеств – это множество,
состоящее из упорядоченных пар элементов,
первым элементом которых являются
элементы первого множества, вторым –
элементы второго, то есть 
Данное
множество содержит восемь элементов.
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Первая
квадратичная форма поверхности 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Запишем
поверхность в виде вектор-функции 
и
вычислим частные производные: 
, 
.
Коэффициенты
первой квадратичной формы 
определим
по формулам:
;
;
.
Тогда 
;
;
.
Таким
образом,
.
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина
дуги кривой 
при 
,
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты
кривой 
имеют
вид …
Математика i-exam вариант 3
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Приложения определенного интеграла
Объем
тела, полученного вращением вокруг
оси
криволинейной
трапеции, ограниченной параболой 
и
осью
,
равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Количество
точек разрыва функции 
равно
…
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
Решение:
Точку 
называют
точкой разрыва функции 
,
если она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данной функции являются точки, в которых
знаменатели равны нулю. То есть 
,
и 
.
Тогда
,
.
Следовательно,
получили четыре точки разрыва функции.
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Смешанная
частная производная второго
порядка 
функции 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями
Нулевой
набор у формулы 
получается
при следующих значениях переменных …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
, 
,
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Неориентированные графы
Для
графа G, изображенного на рисунке,
матрица
смежности имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Элементы комбинаторики
В урне находятся 5 белых, 7 красных, 6 голубых шаров. Сколько существует способов извлечь 9 шаров так, чтобы среди них оказалось 2 белых, 3 красных и 4 голубых шара?
|
5250 |
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Декартово произведение множеств
Пусть
даны два множества:
, 
.
Тогда
геометрическая интерпретация
множества
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дробно-рациональные функции
Даны
два полинома: 
и 
Тогда
целая часть от деления полинома 
на
полином 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выполним
деление заданных полиномов
«уголком»:
Тогда:
То
есть, целая часть от деления полинома
на
полином
равна 
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Линейные отображения
Прообразом
вектора 
при
линейном преобразовании, заданном
матрицей 
,
является вектор …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Основные алгебраические структуры
Для
кольца 
множество 
,
рассматриваемое с одной алгебраической
операцией сложения, представляет собой
…
|
|
|
абелеву группу |
|
|
|
поле |
|
|
|
целостное кольцо |
|
|
|
область целостности |
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Группы и подгруппы
Подгруппой группы невырожденных матриц по умножению является подмножество матриц с …
|
|
|
единичным определителем |
|
|
|
определителем, равным 2 |
|
|
|
определителем, равным – 1 |
|
|
|
определителями, равными 2 и 0,5 |
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Определение вероятности
Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных 3 шара будут белыми, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная
случайная величина
задана
законом распределения вероятностей:
Тогда
значения a и b могут
быть равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная
случайная величина X задана
законом распределения вероятностей:
Тогда
ее дисперсия равна …
|
|
|
7,56 |
|
|
|
3,2 |
|
|
|
3,36 |
|
|
|
6,0 |
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 5 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых шара и 6 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет черным, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Вектор
нормали 
к
прямому геликоиду 
в
точке 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Найдем
частные производные:
; 
.
Тогда 
и 
,
и вектор нормали будет равен:
;
или 
.
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина дуги кривой при , равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
Решение:
Длина
дуги кривой вычисляется по формуле: 
,
где 
-
дифференциал дуги. Вычислив 
,
получаем 
.
Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Основные понятия топологии
Гомеоморфной к тору является …
|
|
|
«кружка с ручкой» |
|
|
|
сфера |
|
|
|
«крендель» |
|
|
|
куб |
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна 3,5. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Интервальной
оценкой среднего квадратического
отклонения 
нормально
распределенного количественного
признака служит доверительный
интервал
при 
или 
при 
,
где q находят
по соответствующей таблице приложений.
Этому
определению удовлетворяет интервал
.
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Проверка статистических гипотез
Правосторонняя критическая область может определяться из соотношения …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Статистическое распределение выборки
Статистическое
распределение выборки имеет вид
Тогда
значение относительной частоты 
равно
…
|
|
|
0,25 |
|
|
|
0,05 |
|
|
|
0,26 |
|
|
|
0,75 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Элементы корреляционного анализа
Выборочное
уравнение прямой линии регрессии
на
имеет
вид 
.
Тогда выборочный коэффициент регрессии
равен …
|
|
|
– 1,5 |
|
|
|
1,5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Решение:
Если
выборочное уравнение парной регрессии
имеет вид 
,
то выборочный коэффициент регрессии
равен 
.
То есть 
.
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Операции над комплексными числами
Дано комплексное число . Тогда равно …
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Число особых точек функции равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
Решение: Для функции точки – полюсы первого порядка, – полюс первого порядка. Следовательно, число особых точек равно трем.
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Значение
производной функции 
в
точке 
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Производная
функции
имеет
вид 
Тогда
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математика i-exam вариант 2
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Плоскость в пространстве
Угол
между плоскостями 
и 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Кривые второго порядка
Радиус
окружности 
равен
…
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Решение:
Окружность
радиуса 
с
центром в точке 
задается
на плоскости уравнением вида 
.
Выделим в уравнении
полные
квадраты: 
,
или 
.
Тогда
радиус окружности равен 2.
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Прямая линия в пространстве
Каноническое
уравнение прямой 
может
иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны точки и . Тогда координаты точки , симметричной точке относительно точки , равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее
решение дифференциального уравнения 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Поле направлений и изоклины
Дано
дифференциальное уравнение 
.
Тогда отрезок соответствующего ему
поля направлений в точке 
образует
с осью
угол,
равный …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное
решение дифференциального уравнения 
,
удовлетворяющее условию 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Количество точек разрыва функции равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
Решение: Точку называют точкой разрыва функции , если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данной функции являются точки, в которых знаменатели равны нулю. То есть , и . Тогда , . Следовательно, получили четыре точки разрыва функции.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Предел 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты
графика кривой 
,
заданной в полярных координатах, имеют
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Вектор
нормали
в
точке 
к
поверхности тора 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Вычислим
частные производные в точке
: 
; 
;
Тогда
вектор нормали в точке 
будет
равен: 
.
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение
нормали к кривой 
в
точке 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Основные понятия топологии
Внутренностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пустое множество |
Решение: Внутренность – это совокупность всех внутренних точек множества, то есть точек из , входящих в с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Таким образом, внутренностью множества в данном случае является множество .
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Элементы корреляционного анализа
Выборочное
уравнение прямой линии регрессии
на
имеет
вид 
.
Тогда выборочный коэффициент корреляции
может быть равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Проверка статистических гипотез
Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Статистическое распределение выборки
Из
генеральной совокупности извлечена
выборка объема 
,
полигон частот которой имеет вид:
Тогда
число вариант 
в
выборке равно …
|
|
|
32 |
|
|
|
82 |
|
|
|
8 |
|
|
|
31 |
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Операции над высказываниями
Таблица
истинности для формулы 
представляет
собой …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Декартово произведение множеств
Декартово
произведение множеств 
и 
представляет
собой …
|
|
|
окружность , лежащую в плоскости |
|
|
|
цилиндрическую поверхность |
|
|
|
сферу |
|
|
|
эллиптический
параболоид |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Элементы комбинаторики
Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?
|
12 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Неориентированные графы
Для графа, изображенного на рисунке, последовательность является …
|
|
|
маршрутом |
|
|
|
цепью |
|
|
|
циклом |
|
|
|
деревом |
Решение:
Маршрутом
называют последовательность вершин и
ребер некоторого графа. Маршрут, не
содержащий повторяющихся ребер, называют
цепью. Замкнутая цепь называется циклом.
Деревом называют простой граф, не
содержащий в себе циклов.
Последовательность
не
замкнута, содержит в себе повторяющееся
ребро 
,
включает в себя цикл 
.
Поэтому она не является, ни «цепью», ни
«циклом», ни «деревом»; а представляет
собой просто «маршрут».
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 5 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых шара и 6 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет черным, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Определение вероятности
Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных 3 шара будут белыми, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная
случайная величина
задана
функцией распределения вероятностей
Тогда
вероятность 
равна
…
|
|
|
0,54 |
|
|
|
0,38 |
|
|
|
0,70 |
|
|
|
0,86 |
Решение:
Так
как по определению 
,
то случайную величину
можно
задать законом распределения вероятностей
вида
Следовательно, 
.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для функции точка является …
|
|
|
полюсом второго порядка |
|
|
|
полюсом третьего порядка |
|
|
|
полюсом первого порядка |
|
|
|
существенно особой точкой |
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Операции над комплексными числами
Если и – корни квадратного уравнения , то равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Решение
квадратного уравнения 
находится
по формуле 
,
где под 
понимаются
все значения корня из комплексного
числа
.
В нашем случае 
и 
.
Тогда 
.
Решение
можно найти и по теореме Виета. Так
как 
,
то в нашем случае получим, что 
.
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Производная
функции
равна 
Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Элементы теории множеств
Даны
два множества: 
и 
.
Тогда количество целых значений
,
принадлежащих пересечению множеств
и
,
равно …
|
4 |
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Отображение множеств
Прообразом
множества 
при
отображении 
является
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Основные алгебраические структуры
В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент …
|
|
|
– это
матрица |
|
|
|
– это
матрица |
|
|
|
– это
матрица |
|
|
|
не существует |
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Группы и подгруппы
Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …
|
|
|
четных целых чисел |
|
|
|
нечетных целых чисел |
|
|
|
натуральных чисел |
|
|
|
натуральных чисел с нулем |
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Дробно-рациональные функции
Даны два полинома: и Тогда целая часть от деления полинома на полином равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Выполним деление заданных полиномов «уголком»: Тогда: То есть, целая часть от деления полинома на полином равна
ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Линейные отображения
Линейный
оператор
отображает
базис 
в
векторы:
; 
; 
.
Тогда матрица оператора
в
этом базисе имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Математика i-exam вариант 1
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Проверка статистических гипотез
Соотношением вида можно определить …
|
|
|
правостороннюю критическую область |
|
|
|
левостороннюю критическую область |
|
|
|
двустороннюю критическую область |
|
|
|
область принятия гипотезы |
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Элементы корреляционного анализа
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями
Из трех логических выражений: эквивалентными являются …
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
все функции |
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Элементы комбинаторики
Из города в город ведут 5 дорог, из в – 3 дороги, имеются также 2 дороги из в , минуя . Из в можно попасть ____ способом(-ами).
|
17 | |
Решение: Из города в город можно попасть способами, из в – с помощью способов. Тогда из в через можно попасть способами (по правилу произведения); а из в , минуя , можно попасть способами. Поэтому по правилу суммы общее число способов, которыми можно попасть из города в город , равно: .
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Декартово произведение множеств
Пусть заданы два множества: , . Тогда геометрическая интерпретация множества имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Неориентированные графы
Эйлеровым является граф …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
|
|
|
пустое множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,1. Тогда вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита, равна …
|
|
|
0,0081 |
|
|
|
0,081 |
|
|
|
0,06 |
|
|
|
0,0729 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются четыре урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров, и шесть урн, содержащих по 8 белых и 2 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой серии урн, равна …
|
|
|
0,20 |
|
|
|
0,80 |
|
|
|
0,72 |
|
|
|
0,40 |
Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой серии урн, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …
|
1 | |
Решение: Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение . Тогда представляет собой …
|
|
|
единичную окружность |
|
|
|
отрезок |
|
|
|
квадрат |
|
|
|
гиперболу |
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Линейные отображения
Пусть – базис пространства . Операторы и этого пространства заданы матрицами ; . Тогда матрица оператора равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Основные алгебраические структуры
Обратным элементом для матрицы относительно операции сложения матриц является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Дробно-рациональные функции
Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Группы и подгруппы
На множестве целых чисел группу образует операция * определенная как …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Кривые второго порядка
Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки , и симметричной относительно оси , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: , а уравнение директрисы: . Параметр находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть , . Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
Решение: Точки, лежащие на одной прямой, параллельной оси OY, имеют одинаковые абсциссы, следовательно, и . Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как . Из условия , получаем , или . Следовательно, ; . Тогда положительные координаты точки равны: , .
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора , получим: или .
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Прямая линия в пространстве
Острый угол между прямыми и равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Угол между прямыми и определяется как угол между их направляющими векторами: и , который можно вычислить по формуле: . Тогда , то есть .
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Число особых точек функции равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
Решение: Для функции точки – полюсы первого порядка, – полюс первого порядка. Следовательно, число особых точек равно трем.
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Операции над комплексными числами
Дано комплексное число . Тогда равно …
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Если комплексное число в тригонометрической форме имеет вид , то по формуле Муавра , где – натуральное число. Запишем число в тригонометрической форме: 1) находим модуль числа ; 2) составляем систему уравнений для нахождения аргумента и главного значения аргумента: 3) находим главное значение аргумента комплексного числа , которое равно ; 4) тогда . Следовательно,
Математика i-exam вариант 1
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Проверка статистических гипотез
Соотношением вида можно определить …
|
|
|
правостороннюю критическую область |
|
|
|
левостороннюю критическую область |
|
|
|
двустороннюю критическую область |
|
|
|
область принятия гипотезы |
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Элементы корреляционного анализа
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями
Из трех логических выражений: эквивалентными являются …
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
все функции |
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Элементы комбинаторики
Из города в город ведут 5 дорог, из в – 3 дороги, имеются также 2 дороги из в , минуя . Из в можно попасть ____ способом(-ами).
|
17 | |
Решение: Из города в город можно попасть способами, из в – с помощью способов. Тогда из в через можно попасть способами (по правилу произведения); а из в , минуя , можно попасть способами. Поэтому по правилу суммы общее число способов, которыми можно попасть из города в город , равно: .
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Декартово произведение множеств
Пусть заданы два множества: , . Тогда геометрическая интерпретация множества имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Неориентированные графы
Эйлеровым является граф …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
|
|
|
пустое множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,1. Тогда вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита, равна …
|
|
|
0,0081 |
|
|
|
0,081 |
|
|
|
0,06 |
|
|
|
0,0729 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются четыре урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров, и шесть урн, содержащих по 8 белых и 2 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой серии урн, равна …
|
|
|
0,20 |
|
|
|
0,80 |
|
|
|
0,72 |
|
|
|
0,40 |
Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой серии урн, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …
|
1 | |
Решение: Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение . Тогда представляет собой …
|
|
|
единичную окружность |
|
|
|
отрезок |
|
|
|
квадрат |
|
|
|
гиперболу |
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Линейные отображения
Пусть – базис пространства . Операторы и этого пространства заданы матрицами ; . Тогда матрица оператора равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Основные алгебраические структуры
Обратным элементом для матрицы относительно операции сложения матриц является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Дробно-рациональные функции
Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Группы и подгруппы
На множестве целых чисел группу образует операция * определенная как …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Кривые второго порядка
Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки , и симметричной относительно оси , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: , а уравнение директрисы: . Параметр находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть , . Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
Решение: Точки, лежащие на одной прямой, параллельной оси OY, имеют одинаковые абсциссы, следовательно, и . Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как . Из условия , получаем , или . Следовательно, ; . Тогда положительные координаты точки равны: , .
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора , получим: или .
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Прямая линия в пространстве
Острый угол между прямыми и равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Угол между прямыми и определяется как угол между их направляющими векторами: и , который можно вычислить по формуле: . Тогда , то есть .
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Число особых точек функции равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
Решение: Для функции точки – полюсы первого порядка, – полюс первого порядка. Следовательно, число особых точек равно трем.
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Операции над комплексными числами
Дано комплексное число . Тогда равно …
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Если комплексное число в тригонометрической форме имеет вид , то по формуле Муавра , где – натуральное число. Запишем число в тригонометрической форме: 1) находим модуль числа ; 2) составляем систему уравнений для нахождения аргумента и главного значения аргумента: 3) находим главное значение аргумента комплексного числа , которое равно ; 4) тогда . Следовательно,
ДЕ1.Абстрактная алгебра
1)Тема: Группы и подгруппы Группу по сложению образует множество …
|
целых чисел |
натуральных чисел |
|
натуральных чисел с нулем |
|
действительных чисел без нуля |
|
2)Тема: Дробно-рациональные функции
Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …
Решение: 
Получаем
систему трех уравнений с тремя
неизвестными: 
Тогда 
3)Тема: Основные алгебраические структуры В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент … – это матрица
4)Тема: Линейные отображения
Пусть
базис
пространства
Операторы
и
этого
пространства заданы матрицами
.
Тогда матрица оператора
равна
Решение:
Тема: Дробно-рациональные функции Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …
Тема: Линейные отображения Линейный оператор отображает базис в векторы: Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид …
Решение:
Тема: Основные алгебраические структуры В кольце целых четных чисел единичный элемент …
|
не существует |
Решение: В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.
Тема: Группы и подгруппы Группу по умножению образует множество …
|
действительных чисел без нуля |
действительных чисел |
|
целых чисел |
|
натуральных чисел с нулем |
|
Решение: Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.
Тема: Группы и подгруппы Операция «+» – сложения образует группу на множестве …
|
целых четных чисел |
натуральных чисел |
|
целых нечетных чисел |
|
действительных чисел без нуля |
|
Решение: Множество целых четных чисел с введенной операцией сложения образует группу. Множество натуральных чисел не группа, так как, например, не имеет противоположного элемента. Множество целых нечетных не имеет нулевого элемента, как и множество действительных чисел без нуля.
Тема:
Линейные отображения
Из
заданных операторов пространства 
–
пространства трехмерных векторов,
линейным является оператор …
Тема: Основные алгебраические структуры В кольце целых четных чисел единичный элемент …
|
не существует |
равен |
|
равен |
|
равен |
|
Решение: В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.
Тема:
Основные алгебраические структуры
Подалгеброй
алгебры 
является
совокупность …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Совокупности 
и
не
являются подалгебрами алгебры
,
так как, 
.
Совокупность 
не
является подалгеброй алгебры
,
так как множество 
не
замкнуто относительно
умножения.
Совокупность
является
подалгеброй алгебры
,
так как 
и
множество
замкнуто
относительно умножения.
Тема: Группы и подгруппы Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …
|
четных целых чисел |
нечетных целых чисел |
|
натуральных чисел |
|
натуральных чисел с нулем |
|
Тема:
Дробно-рациональные функции
Множество
всех дробно-рациональных функций
образует поле
относительно
обычных операций сложения и умножения
таких функций.
Пусть
и
,
причем 
и 
Тогда
числитель произведения 
равен
…
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение:
Разложим
на линейные множители знаменатели
дробно-рациональных функций
и
:
Тогда 
.
То
есть числитель произведения
равен
1.
Тема:
Дробно-рациональные функции
Разложение
дробно-рациональной функции 
на
элементарные дроби имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выполним
деление заданных полиномов
«уголком»:
Разложим
знаменатель на простые множители: 
.
Тогда
Тема: Группы и подгруппы Группу по умножению образует множество …
|
действительных чисел без нуля |
действительных чисел |
|
целых чисел |
|
натуральных чисел с нулем |
|
Решение: Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.
Тема: Линейные отображения Из заданных операторов пространства – пространства трехмерных векторов, линейным является оператор …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Линейным
называется отображение
удовлетворяющее
условиям:
,
.
Проверим
на линейность оператор 
:
,
,
Следовательно
-
первое условие не выполнено, а значит
не
является линейным оператором.
Для
оператора 
проверим
выполнение второго условия:
Условие
не выполняется, значит
не
линейный оператор.
Проверим выполнение
второго условия для оператора 
:
Следовательно,
данный оператор не является
линейным.
Проверим выполнение условий
линейности для оператора 
:
,
,
Следовательно
–
первое условие выполнено.
–
второе условие выполнено. Поэтому
является
линейным оператором.
Тема:
Основные алгебраические структуры
Подалгеброй
алгебры 
является
совокупность …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Подалгеброй
алгебры 
,
называют совокупность 
,
где 
,
причем 
замкнуто
относительно всех операций из 
не
является подалгеброй алгебры
,
так как 
и
не
являются подалгебрами алгебры
,
так как, не совпадают множества заданных
операций.
является
подалгеброй алгебры
,
так как 
и
каждая главная операция является
ограничением соответствующей операции
на 
Тема:
Основные алгебраические структуры
является
подалгеброй алгебры …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
является
подалгеброй алгебры
,
так как 
и
каждая главная операция является
ограничением соответствующей операции
на 
.
Тема: Дробно-рациональные функции Разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби имеет вид
Тема:
Линейные отображения
Образом
вектора 
при
линейном преобразовании, заданном
матрицей 
,
является вектор …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как образ 
вектора 
определяется
по формуле: 
,
то 
.
Тема: Основные алгебраические структуры Подалгеброй алгебры является совокупность …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Подалгеброй алгебры , называют совокупность , где , причем замкнуто относительно всех операций из не является подалгеброй алгебры , так как и не являются подалгебрами алгебры , так как, не совпадают множества заданных операций. является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на
Тема: Группы и подгруппы Мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел …
|
без нуля с операцией умножения |
с операцией сложения |
|
с операцией умножения |
|
без нуля с отношением порядка |
|
Решение: Мультипликативная группа определяется операцией умножения. Поэтому множество рациональных чисел с операцией сложения и множество рациональных чисел без нуля с отношением порядка не являются мультипликативными группами. Множество рациональных чисел с операцией умножения не является группой, так как для элемента 0 нет обратного относительно умножения. Тогда мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения.
Тема: Дробно-рациональные функции Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .
Тема:
Линейные отображения
Линейное
преобразование
в
базисе 
имеет
матрицу 
.
Тогда матрица этого оператора в базисе 
,
где 
; 
, имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Матрица
оператора
в
базисе 
вычисляется
по формуле 
,
где
–
матрица перехода от базиса
к
базису
.
Матрица
перехода 
,
тогда 
.
Матрица линейного оператора 
.
Тогда 
.
Тема: Группы и подгруппы Коммутативной группой является множество …
|
квадратных матриц с введенной операцией сложения |
невырожденных квадратных матриц с введенной операцией умножения |
|
натуральных чисел с 0, с введенной операцией сложения |
|
натуральных чисел с введенной операцией сложения |
|
Решение:
Множество
квадратных матриц с введенной операцией
сложения образует группу: ассоциативность
выполняется, нейтральным элементом
группы является нулевая матрица, для
любой матрицы существует
противоположная.
Множество невырожденных
квадратных матриц с введенной операцией
умножения образует группу, но она не
является коммутативной, т.к. не для любых
матриц
и
выполняется
равенство 
.
Множество
натуральных чисел (с 0, или без него) с
введенной операцией сложения не является
группой, т.к. нет противоположного
элемента, например, у элемента
.
Тема: Основные алгебраические структуры Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой …
|
абелеву группу |
поле |
|
целостное кольцо |
|
область целостности |
|
Решение: Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой абелеву группу.
Тема:
Линейные отображения
Дано
линейное преобразование векторов на
плоскости 
,
которое каждый вектор переводит в вектор
той же длины, но противоположно
направленный исходному. Тогда
матрица
этого
преобразования имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как 
и 
,
то матрица такого линейного преобразования
имеет вид 
.
Тема: Основные алгебраические структуры В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент …
|
– это матрица |
– это матрица |
|
– это матрица |
|
не существует |
|
Тема:
Дробно-рациональные функции
Даны
два полинома: 
и 
Тогда
целая часть от деления полинома
на
полином
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выполним
деление заданных полиномов
«уголком»:
Тогда:
То
есть, целая часть от деления полинома
на
полином
равна 
ема:
Основные алгебраические
структуры
Элемент 
называется
обратным к элементу 
в
группе G с единичным элементом
,
если …
|
|
|
|
|
|
|
|
, 
Тема: Группы и подгруппы Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …
|
четных целых чисел |
нечетных целых чисел |
|
натуральных чисел |
|
натуральных чисел с нулем |
|
Решение: Данное подмножество должно быть замкнуто относительно операций сложения и взятия противоположного элемента. Этим условиям удовлетворяет, например, множество четных целых чисел.
Тема: Линейные отображения Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является …
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям: , . Проверим на линейность отображение : , , Следовательно – первое условие не выполнено, а значит не является линейным отображением. Для отображения проверим выполнение второго условия: Условие не выполняется, значит не линейное отображение. Проверим выполнение второго условия для отображения : Следовательно, данное отображение не является линейным. Проверим выполнение условий линейности для отображения : , , Следовательно – первое условие выполнено. – второе условие выполнено. Поэтому является линейным отображением.
ДЕ2.Аналитическая геометрия
Тема:
Прямоугольные координаты на плоскости
Даны
три вершины параллелограмма: 
,
, 
.Тогда
четвертая вершина 
,
противолежащая вершине В, имеет
координаты 
.
Решение:
Воспользуемся
формулой деления отрезка пополам.
Координаты точки 
,
делящей отрезок между точками
и 
пополам,
находятся по формулам: 
,
.
Найдем координаты точки М пересечения
диагоналей параллелограмма как координаты
середины отрезка АС (диагонали
параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам): 
,
.
Зная координаты точек В и М (как середины
отрезка ВД) найдем координаты точки 
то
есть точка имеет координаты
.
Тема: Прямая линия в пространстве Острый угол между прямыми и равен
Решение: Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами: и который можно вычислить по формуле:
тогда
Тема:
Кривые второго порядка
Мнимая
полуось гиперболы 
равна
…
|
|
|
3 |
Тема:
Плоскость в пространстве
Нормальное
уравнение плоскости 
имеет
вид …
Тема:
Плоскость в пространстве
Плоскости 
и 
перпендикулярны
при значении 
,
равном 
Решение:
Плоскости,
заданные общими уравнениями 
и 
перпендикулярны
при условии, что
.
Тогда 
то
есть
.
Тема:
Кривые второго порядка
Расстояние
между фокусами гиперболы 
равно
10.
Тема:
Прямая линия в пространстве
Параметрические
уравнения прямой, параллельной оси 
и
проходящей через точку
имеют
вид …
Решение:
Параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точку
с
направляющим вектором
имеют
вид 
.За
направляющий вектор прямой можно взять 
Тогда
или
Тема:
Прямоугольные координаты на
плоскости
Точка 
лежит
на оси абсцисс и равноудалена от точки 
и
начала координат. Тогда точка 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как точка
лежит
на оси абсцисс, то ее ордината 
.
Так как точка 
равноудалена
от точки
и
начала координат
,
то расстояния от точки
до
точек
и
равны.
Тогда 
или
,
т.е. 
Тема:
Плоскость в пространстве
Общее
уравнение плоскости, проходящей через
точку 
перпендикулярно
прямой 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Уравнение
плоскости, проходящей через точку 
с
нормальным вектором 
,
имеет вид: 
.
Так
как эта плоскость перпендикулярна
прямой
,
то в качестве нормального вектора
плоскости можно использовать направляющий
вектор этой прямой, то есть 
.
Тогда
или
.
Тема: Кривые второго порядка Асимптоты гиперболы задаются уравнениями …
|
|
|
|
Решение: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями вида . Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы: . То есть и . Тогда уравнения асимптот примут вид .
Тема:
Прямая линия в пространстве
Расстояние
между прямой 
и
плоскостью 
равно
…
|
|
|
3 |
|
|
|
18 |
|
|
|
0 |
|
|
|
15 |
Решение:
Направляющий
вектор прямой имеет вид 
,
а нормальный вектор плоскости: 
.
Скалярное произведение этих векторов
равно нулю: 
.
Следовательно, прямая либо параллельна
плоскости, либо принадлежит ей. Тогда
расстояние между прямой и плоскостью
можно найти как расстояние между любой
точкой данной прямой и плоскостью. В
качестве такой точки возьмем, например, 
.
Расстояние от точки
до
плоскости 
найдем
по формуле 
,
то есть
Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Уравнение
плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
,
не лежащие на одной прямой, имеет
вид 
.
Подставим
числовые значения в полученное
уравнение: 
,
или 
.
Раскрывая
определитель по первой строке,
получим 
,
то
есть
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …
|
|
|
, |
Тема:
Прямая линия в пространстве
Параметрические
уравнения прямой, параллельной оси 
и
проходящей через точку
имеют
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид . За направляющий вектор прямой можно взять . Тогда или
Тема:
Прямоугольные координаты на
плоскости
Точки 
, 
и 
лежат
на одной прямой. Тогда точка
делит
отрезок 
в
отношении …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Делением
отрезка 
в
заданном отношении 
называется
поиск такой точки
на
отрезке
,
которая удовлетворяет соотношению 
.
Тогда искомый параметр
будет
равен: 
Тема:
Плоскость в пространстве
Общее
уравнение плоскости, проходящей через
точку 
параллельно
плоскости 
,
имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Уравнение
плоскости, параллельной плоскости
имеет
вид: 
.
Подставим координаты точки
в
это уравнение: 
.
Тогда 
.
Тема: Кривые второго порядка Мнимая полуось гиперболы равна … 3
Тема: Плоскость в пространстве Плоскости и перпендикулярны при значении , равном …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Прямая линия в пространстве Прямая параллельна плоскости , если параметр равен …
|
|
|
– 11 |
|
|
|
– 7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
11 |
Решение:
Прямая
параллельна плоскости, если скалярное
произведение направляющего вектора
прямой 
и
нормального вектора плоскости 
равно
нулю. То есть 
,
или 
.
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны три вершины параллелограмма: , , . Тогда четвертая вершина , противолежащая вершине , имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема:
Кривые второго порядка
Соотношение 
в
прямоугольной декартовой системе
координат задает …
|
|
|
параболу |
|
|
|
гиперболу |
|
|
|
эллипс |
|
|
|
окружность |
Решение:
Вычислим 
,
то есть 
.
Тогда
в прямоугольной декартовой системе
координат данное уравнение задает
параболу с вершиной в точке 
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости В треугольнике с вершинами , и проведена медиана , длина которой равна …
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
Решение: Точка является серединой отрезка . Координаты середины отрезка определяются по формулам , . Подставляя в эти формулы координаты точек и , получим координаты точки : , . Расстояние между точками и можно найти по формуле . То есть
Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, параллельной плоскости имеет вид: . Подставим координаты точки в это уравнение: . Тогда .
Тема:
Кривые второго порядка
Фокусы
эллипса имеют координаты 
и 
,
а его эксцентриситет равен 0,6. Тогда
каноническое уравнение эллипса имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид 
;
фокусы эллипса имеют координаты 
и 
,
где 
,
а эксцентриситет 
.
Тогда 
, 
, 
.
Следовательно,
получаем уравнение
Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда или .
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны точки и . Тогда координаты точки , симметричной точке относительно точки , равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Прямая линия в пространстве Параметрические уравнения прямой, параллельной оси и проходящей через точку имеют вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид . За направляющий вектор прямой можно взять . Тогда или .
Тема:
Кривые второго порядка
Центр
окружности 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Окружность
радиуса
с
центром в точке 
задается
на плоскости уравнением
.
Выделим в уравнении
полные
квадраты: 
,
или 
.
Тогда
центр окружности имеет координаты
Тема:
Кривые второго порядка
Вершина
параболы 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выделим
в уравнении
полный
квадрат: 
или 
.
Тогда вершина параболы имеет координаты
Видеоуроки ЕГЭ
Математика (1)
Информатика (2)
Физика (2)
Русский язык (0)
Обществознание (0)
История (0)
Английский язык (2)
Биология (0)
География (0)
Химия (0)
Экономика (1)
Разделы
Решебники
Презентации PowerPoint
Расчетки
Материалы
Шпаргалки
Лабораторные работы
Разное
Курсовые
Дипломы
Решение задач
Видеоуроки
СтудентLife
Новости
Юмор
Это интересно
ответы i-exam
Теория государства и права
Культурология
Метрология
Безопасность жизнедеятельности
Философия
Информатика
КП РФ
Политология
История
Материаловедение i-exam
Психология и педагогика
Математика
Отправка материалов!
Физика
|
ДЕ3.Дифференциальная геометрия