- •Примеры задач линейного программирования.
- •Общая задача линейного программирования. Общая постановка задачи при ограничениях. Оптимальное решение (план).
- •Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными. Область решения. Область допустимых решений. Методика решения системы.
- •Геометрическая интерпретация задач линейного программирования. Типы решений злп на плоскости.
- •Понятие линейного программирования. Матричная форма экономико-математической модели злп.
- •Двойственные задачи. Двойственность в линейном программировании. Виды двойственных задач. Алгоритм составления двойственных задач.
- •Двойственные задачи. Симметричные двойственные задачи. Модель симметричных двойственных задач.
- •Несимметричные двойственные задачи. Модель несимметричных-двойственных задач.
- •Общая постановка симплексного метода. Алгоритм симплексного метода. Понятие опорного решения.
- •Аналитический способ решения задач симплексным методом.
- •Табличный способ решения задач симплексным методом.
- •Математические модели двойственных задач (Четыре пары двойственных задач в матричном виде). Симметричные пары. Несимметричные пары.
- •Свойства двойственных задач.
- •Экономико-математическая модель транспортной задачи. Особенности экономико-математической модели транспортной задачи. Ранг системы уравнений транспортной задачи.
- •Нахождение первоначального базисного плана распределения поставок. Метод Северо-западного угла. Метод минимальной стоимости.
- •Распределительный метод решения транспортной задачи (метод потенциалов). Алгоритм распределительного метода.
- •Алгоритм решения задачи о назначениях (Венгерский метод). Минимизация целевой функции. Максимизация целевой функции.
- •Оптимизация целевых функций методом Лагранжа (метод разрешающих множителей). Этапы решения задач нелинейного программирования.
Свойства двойственных задач.
Теорема 1: Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая так же имеет оптимальное решение. Причем для любых оптимальных значений Х, У выполняется равенство : L (x) max = S (y) min
Если одна из двойственных задач не разрешима в виду того что мах значение исходной задачи стремиться к бесконечности L (x) max→ ∞ , то другая не имеет значения допустимых значений.
Теорема 2: Для оптимально допустимых значений х и у пары двойственных задач необходимо и достаточно чтобы они удовлетворяли системе уравнений:
Xопт j (∑ aij yопт i- cj) = 0
Yопт i (∑ aij xопт j- bi) = 0
Экономико-математическая модель транспортной задачи. Особенности экономико-математической модели транспортной задачи. Ранг системы уравнений транспортной задачи.
В m пунктах (поставщики) имеется некий однородный груз. Необходимо его доставить в n пунктов (потребители). Стоимость перевозки единицы груза будем обозначать сij. Требуется составить план перевозки всего груза и имеющий суммарную мин. стоимость. Количество груза у поставщика – мощность поставщика. Спрос потребителя – мощность потребителя.
Особенность: её линейных характер. Ограничения – равенства.
В зависимости от суммарной мощности поставщиков и потребителей рассматривают открытую и закрытую транспортную задачу.
1. ∑Аi=∑Bj рассматриваем закрытую транспортную задачу, данные полностью определены.
2. ∑Аi≥∑Bj – открытая, необходимо привести к закрытой путем введения фиктивного показателя.
∑Аi=∑Bj + Вj +1
3. ∑Аi≤∑Bj
Ранг определяется по формуле r = m+n-1 , где m- количество строк, n- количество столбцов. Ранг определяется только для закрытой модели. Если открытая, то увеличивается на единицу.
Нахождение первоначального базисного плана распределения поставок. Метод Северо-западного угла. Метод минимальной стоимости.
Порядок решения транспортной задачи: 1. составить таблицу специального вида. Строки- кол-во поставщиков, столбцы- кол-во потребителей. 2. составить первоначальный план поставки, предварительно оценить вид модели и ранг. Первоначальный план определяется: 1. метод северо-западного угла. 2. метод минимальной стоимости.
Метод северо-западного угла: Заполнение клеток происходит последовательно по следующему алгоритму: сначала вывозится груз из пункта А1 и завозится в пункт В1, и этой перевозке х11 присваивается максимально возможное значение. Если заявка пункта В1 выполнена, а в пункте А1 еще остается груз, то он вывозится в пункт В2 и т.д.Если в пункте А1 недостаточно было груза для В1, то недостающий груз берется из А2 и т.д. После того как спрос потребителя А1 удовлетворен, он выпадает из рассмотрения и т.д.
Метод минимальной стоимости:
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj . Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.