Сущность методов оптимизации. Определение. Предмет изучения. Цель. Примеры оптимизации. Оптимальное, т.е. самое наилучшее. Особенность – кол-во возможных вариантов решения является бесконечным. Критерий качества оптимальности либо целевая функция будет показывать в каком направлении надо двигаться. Методы оптимизации – наука, занимающаяся разработкой либо практическим применением методов более эффективного оптимального управления организационными системами. Решение – выбор из ряда возможных альтернатив. Предмет изучения – системы организационного управления или организации, кот состоят из большого числа подразделений. Цели отдельных подразделений могут не совпадать. Цель МО – количественное обоснование принимаемых решений по управлению организацией.
Основные понятия и особенности методов оптимизации. Операция, решение, элементы решения. Этапы исследования. Операция – любое мероприятие, направленное на достижение цели. Решение – выбор, зависящий от заданных параметров. Параметры, совокупность кот образует решение, называются элементами решения. Особенности МО: 1. Системный подход к анализу проблемы(любая задача рассматривается комплексно, с т.з. функционирования всего коллектива) 2. Непременное желание найти экстремальное (оптимальное) решение. 3. МО проводятся комплексно по многим направлениям одновременно. 4. Количество вариантов решения м.б. неограниченным. 5. Обязательное наличие функции качества(оптимальности), целевой функции. 6. При решении каждой проблемы могут возникать новые задачи. Наибольший эффект при непрерывном переходе от первой проблемы к другой. Многие задачи решаются поэтапным циклическим способом, алгоритм становится неизменным. Этапы исследования операций: 1. Построение экономических и математических моделей для задач принятия решений в сложных ситуациях или условиях неопределенности. 2. Изучение взаимосвязей, определяющих в последствии принятия решений и установления критериев эффективности, позволяющих оценить преимущество того или иного варианта действия.
Общая характеристика методов оптимизации. Линейное программирование. Нелинейное программирование. Динамическое программирование. Стохастическое программирование. Дискретное программирование. Эвристическое программирование. Прямые и обратные задачи методов оптимизации. Параметры при решении задач оптимизации6 1.ЦФ (целевая функция) ЦФ: Z=f(x1,x1,…,xn)→max(min) 2. СО (Система ограничений) ∑g(x1,x2,..,xn)≤bi – уровень запасов. 3. УНО (условия неотрицательности) xi≥I, i=1,n. Классические МО (исходные данные не заданы таблично, дискретно) :1Линейное программирование. ЦФ, СО - линейный характер. 2. Нелинейное программирование. ЦФ, СО - нелинейный характер. 3.Целочисленное программирование. 4.Динамическое программирование. Исходные параметры зависят от времени. 5.Параметрическое программирование. 6.Стахостическое программирование. 7. Эвристическое программирование (количество возможных вариантов решения слишком велико)
Типичные классы задач методов оптимизации. Классы:1 задача сетевого программирования и управления. 2. Задачи массового обслуживания. 3. Задача управления запасами. 4. задача распределения ресурсов. 5. Задача ремонта и замены оборудования. 6. Задача составления расписания. 7. Задача планирования и размещения. 8. Задача выбора маршрута.
Общая постановка задачи линейного программирования. Экономико-математическая модель. Этапы проведения экономико-математического моделирования. Под моделью будем понимать условный образ какого либо объекта приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. Процесс приближенного воссоздания объекта будем называть формализацией. Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Рассматривается 3 этапа проведения экономико-математического моделирования: 1. Ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта виде экономической модели. 2. Формируется математическая модель осуществляется выбор или разработка методов исследования. Проводится программирование модели на ЭВМ. 3. Основной. Осуществляется анализ математической модели, проводятся машинные расчеты, анализ и обработка полученных результатов, системы ограничений и условий неотрицательности.
Примеры задач линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Общая постановка задачи при ограничениях. Оптимальное решение (план).
Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными. Область решения. Область допустимых решений. Методика решения системы.
L(x) =c1x1 + c2x2 + … + cn xn → max
а11 x1+ a12 x2 =< b 1
а21 x1+ a22 x2 =< b 2
…
аm1 x1+ am2 x2 =< b m
x1>=0; x2>=0 – область первого квадрата
a11x1 + a12x2=b1 – граничная прямая, так как x2=0 -> b1/a12 и x1=0 -> b1/a11
Неравенство характеризует одну из двух плоскостей
X = (x1; x2)
Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенную по одну сторону от неё.
ОР (область решений системы) – это пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется неравенством системы. ОДР (область доступных решений) – это область решений системы + условия неотрицательности.
Виды возможных решений:
Геометрическая интерпретация задач линейного программирования. Типы решений злп на плоскости.
Графический метод, несмотря на свою очевидность и применимость лишь в случае малой размерности задачи, позволяет понять качественные особенности задачи линейного программирования, характерные для любой размерности пространства переменных и лежащие в основе численных методов ее решения. Поясним графический метод на примере задачи ЛП в основной форме для n = 2
Для нахождения единственного оптимального решения используется градиентный метод, вектор-градиент (градиент) указывает направление максимально быстрого вырастания целевой функции
Вектор-градиент начинается в начале координат и заканчивается в координате, обозначенной С = (с1, с2)
с1 = d F / d x1
с2 = d F / d x2, где F – целевая функция
Для построения вектора С необходимо построить линию уровня (она перпендикулярна Z0)
Zc - перемещается, Z0 – самая крайняя точка
Точка С – результат пересечения двух переменных (2) и (1), с = (1)∩(2)
Максимальная прибыль достигнута в точки С.
Минимальные затраты достигаются с помощью С с инверсией.
Понятие линейного программирования. Матричная форма экономико-математической модели злп.
Линейное программирование — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.
Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.
Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников
Матричные модели [matrix models] — экономико-математические модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производство и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотраслевом балансе, при решении отраслевых задач оптимального планирования развития и размещения производства, в эколого-экономическом моделировании и т. д.
Широкое распространение матричные модели связано, в частности, с тем, что запись данных в табличной форме облегчает их введение в компьютер и дает наглядное представление о результатах расчета (на самом деле ввиду большой размерности моделей они обычно не изображаются непосредственно в виде таблиц, а содержащаяся в них информация хранится в памяти ЭВМ — см. ст. “Массив данных”). Для перехода между Матричные модели различных звеньев (уровней хозяйства) применяются вариантные матрицы.
Матричные модели применяются и в теоретических исследованиях экономики, поскольку она представляется как процесс преобразования затрат в результаты. Элементами матрицы при этом являются величины затрат при разных технологических способах.