- •Примеры задач линейного программирования.
- •Общая задача линейного программирования. Общая постановка задачи при ограничениях. Оптимальное решение (план).
- •Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными. Область решения. Область допустимых решений. Методика решения системы.
- •Геометрическая интерпретация задач линейного программирования. Типы решений злп на плоскости.
- •Понятие линейного программирования. Матричная форма экономико-математической модели злп.
- •Двойственные задачи. Двойственность в линейном программировании. Виды двойственных задач. Алгоритм составления двойственных задач.
- •Двойственные задачи. Симметричные двойственные задачи. Модель симметричных двойственных задач.
- •Несимметричные двойственные задачи. Модель несимметричных-двойственных задач.
- •Общая постановка симплексного метода. Алгоритм симплексного метода. Понятие опорного решения.
- •Аналитический способ решения задач симплексным методом.
- •Табличный способ решения задач симплексным методом.
- •Математические модели двойственных задач (Четыре пары двойственных задач в матричном виде). Симметричные пары. Несимметричные пары.
- •Свойства двойственных задач.
- •Экономико-математическая модель транспортной задачи. Особенности экономико-математической модели транспортной задачи. Ранг системы уравнений транспортной задачи.
- •Нахождение первоначального базисного плана распределения поставок. Метод Северо-западного угла. Метод минимальной стоимости.
- •Распределительный метод решения транспортной задачи (метод потенциалов). Алгоритм распределительного метода.
- •Алгоритм решения задачи о назначениях (Венгерский метод). Минимизация целевой функции. Максимизация целевой функции.
- •Оптимизация целевых функций методом Лагранжа (метод разрешающих множителей). Этапы решения задач нелинейного программирования.
Математические модели двойственных задач (Четыре пары двойственных задач в матричном виде). Симметричные пары. Несимметричные пары.
Произвольную задачу линейного программирования можно сопоставить с другой задачей, которая называется двойственной. Первоначальная задача - исходная. В этом случае образуют двойственную пару. Различают: 1. симметричные 2. несимметричные 3. двойственные
Симметричные
*исходная задача: L(x)= c1x1+ c2x2+…+cnxn→max
a11x1+ a12x2+…+a1nxn ≤ b1 y1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn ≤ b2 y2
am1x1+ am2x2+…+amnxn ≤ bm ym
xi ≥0, i= 1..n X = (x1 ,x2 ,… xn )
*двойственная задача: алгоритм составления математической модели: 1. каждому неравенству системы ограничений приводим в соответствие переменной yi 2. составляем целевую функцию коэффициенты которой являются свободными значениями системы ограничений исходной задачи 3. составляем систему ограничений коэффициенты системы ограничений образуют транспонированную матрицу 4 свободными значениями системы ограничений является коэффициенты целевой функции исходной задачи. Все переменные двойственной задачи так же не отрицательные.
S(y) = b1y1+ b2y2+…+bmym→min
a11y1+ a21y2+…+am1ym ≥ c1
a12y1+ a22y2+…+am2ym ≥ c2
a1ny1+ a11y2+…+amnym ≥ cn
yi ≥0, j= 1..m Y = (y1 ,y2 ,… ym )
Несимметричная пара
*исходная задача:
L(x)= c1x1+ c2x2+…+cnxn→max
a11x1+ a12x2+…+a1nxn = b1 y1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn = b2 y2
am1x1+ am2x2+…+amnxn = bm ym
xi ≥0, i= 1..n X = (x1 ,x2 ,… xn )
*двойственная: идентична двойственной модели симметричной задачи.
Особенность: 1.только неравенства 2. переменные yi могут быть произвольные по знаку.
Классификация двойственных задач. Используют всего 4 пары двойственных задач.
А= а11 а12… а1n C= ( c1, c2,…, cn)
a21 а22… а2n
аm1 а21… аmn
B= b1 X= x1
b2 x2
bm xm
Симметричные пары:
|
Исходная задача |
Двойственная задача |
1 |
Z (x) =C*X→max A*X≤B X≥0 |
F (y) = Y*B→min Y*A≥C Y≥0 |
2 |
Z (x) =C*X→min A*X≥B X≥0 |
F (y) = Y*B→min Y*A≤C Y≥0 |
Несимметричные пары:
|
Исходная задача |
Двойственная задача |
3 |
Z (x) =C*X→max A*X=B X≥0 |
F (y) = Y*B→min Y*A≥C Y≥0 |
4 |
Z (x) =C*X→min A*X=B X≥0 |
F (y) = Y*B→mах Y*A≤C Y≥0 |
Если целевая функция стремиться к max, то формулировка экономико-математической модели звучит: составить такой план выпуска продукции х, при которых прибыль от реализации продукции будет максимальным при условии что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.
Если целевая функция стремиться к min, то формулировка экономико-математической модели звучит: найти такой набор цен ресурсов У, при котором общие затраты на ресурсы будут минимальные, при условии что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не меньше от прибыли от реализации этой продукции.