2.8 ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ НА ЦЕПЬ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Пусть на нелинейный элемент с вольт-амперной характеристикой i = F(u) подаются гармоническое напряжение сигнала u(t) = U_mcoswt и постоянное напряжение смещения U₀, которое определяет положение рабочей точки на характеристике, рисунок 13.1. На этом же рисунке показана форма тока в цепи с нелинейным элементом i(t). Из-за нелинейности вольт-амперной характеристи­ки формы напряжения и тока оказываются различными.

Ток i(t) имеет несинусоидальную форму, т. е. не является гармоническим колебанием. В нелинейном элементе возникают новые частоты колебаний и поэтому состав

Рисунок 13.1 - Воздействие гармонического сигнала на нелинейный элемент

спектра тока i(t) = F(U₀ + U_mcoswt) отличается от состава спектра напряжения u(t).

Так как функция i(t) является периодической с периодом T = 2p¤w, она может быть представлена рядом Фурье (1):

(1)

Это значит, что ток в нелинейном элементе складывается из постоянной составляющей и бесконечного числа гармоник с частотами w, 2w, 3w,…

Обычно задача анализа заключается в спектральной оценке состава тока, т. е. в нахождении амплитуд спектральных составляющих I₀, I_m1, I_m2, …, I_mk, ... в зависимости от постоянного напряжения смеще­ния U₀ и амплитуды переменного напряжения U_m.

Спектральный состав тока при степенной аппроксимации. Для определения амплитуд гармоник тока подставим выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу u(t) = U₀ + U_mcoswt, в формулу полинома, используемого для степенной аппроксимации в окрестности рабочей точки U₀:

(2)

В результате получим

(3)

Воспользовавшись известными тригонометрическими форму­лами

(4)

запишем выражение для тока, сгруппировав отдельно все постоян­ные составляющие, все члены с косинусами, все члены с косинусами удвоенного аргумента и т. п. в следующей форме:

(5)

В более компактном виде формула (5) выглядит так:

(6)

где значения амплитуд спектральных составляющих I₀, I_m1, I_m2, ... определяются выражениями, заключенными в формуле (5) в скобки.

Спектральный состав тока при кусочно-линейной аппроксимации. На рисунке 13.2 показана форма тока в цепи с нелинейным элементом при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики функ­цией

(7)

когда на вход подается напряжение u = U₀ + U_mcoswt.

Рисунок 13.2 - Воздействие гармонического сигнала большой амплитуды на нелинейный элемент

График тока имеет характерный вид косинусоидальных им­пульсов с отсечкой. Половина той части периода, в течение которой протекает ток, называется углом отсечки. На рисунке 13.2 угол отсечки обозначен J и показан как на графике тока, так и на графике напряжения. Измеряется угол отсечки в радианах или градусах.

При . (8)

Последнее равенство позволяет определить угол отсечки:

(9)

Ток на интервале -J £ wt £ J отличен от нуля и определяется из формулы (7) подстановкой напряжения u(t) = U₀ + U_mcoswt и напряжения U_отс = U₀ + U_mcosJ. В результате полу­чаем:

(10)

Периодическую последовательность импульсов тока можно разложить в ряд Фурье. Поскольку эта последовательность является четной функцией переменной wt, ряд Фурье будет содержать помимо постоянной составляющей только косинусоидальные гармониче­ские составляющие:

(11)

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник ряда находятся как коэффициенты ряда Фурье.

В общем, амплитуды спектральных составляющих тока рассчитывают:

(12)

где g_k(J) - функция Берга - справочные данные для расчёта I_mk.

Чтобы получить максимальные амплитуды гармоник, выбирают J = 180/k, так как при таких углах отсечки интегральные выражения принимают максимальные значения.

Воздействие суммы гармонических колебаний на цепь с нелинейным элементом