IV. Задачи в теории графов Построение графа кратчайшей длины

Дано: множество вершин х, построить связанный граф G=(x,u) такой, чтобы сумма длин ребер была минимальной ( ).

Пример практического использования: соединить города (населенные пункты) дорогами (или линиями электропередач), так что бы суммарная длина была минимальной. Такой граф G=(x,u) всегда дерево, т.к. если есть цикл, то одно ребро можно устранить.

Правило: Соединим две вершины самым коротким ребром, далее добавляем самое короткое ребро из оставшихся, но так, что бы не образовались циклы. Если несколько ребер одинаковые, то можно выбирать любое. Такое дерево называется экономическим, никакое другое дерево не может иметь меньшую длину, чем экономическое дерево.

Определение кратчайшего пути

Дано: неориентированный граф, найти цепь, соединяющую две вершины графа и имеющую минимальную длину. (Если две вершины назвать: начало и конец, то полученная цепь будет путем из одной точки в другую) (Дано G=(X,U), a,b x, найти цепь (путь): u_l...u_i...u_n, такую, что ).

а) Ребра единичной длины: конечной точке приписывая индекс 0, всем смежным - 1, далее всем смежным не имеющим индекса - 2 и т.д. Индекс вершины равен расстоянию до конечной точки. Надо двигаться в сторону уменьшения индексов.

б) Ребра произвольной длины: конечной вершине приписывается индекс 0, смежным ,

где u_i - инцидентное конечной вершине ребро,

- её длина.

Далее всем смежным вершинам приписывается индекс , где – индекс предыдущей вершины, u_i - ребро, соединяющее предыдущую вершину с последующей. Если вершина уже имела индекс, выбирается наименьший и так далее до начальной вершины (или до конца всех вершин). Индекс равен расстоянию до конечной точки.

Надо двигаться от начала до конца по тем ребрам, для которых длины ребер совпадают с разностью индексов вершин.

Транспортные сети

Транспортной сетью называется конечный ориентированный граф без петель, у которого:

1) существует 1 и только 1 вершина, называемая входом х₀, такая, что (то есть дуги только выходят из х₀),

2) существует 1 и только 1 вершина, называемая выходом, такая, что (то есть дуги только входят в z),

3) каждой дуге соотнесено число c(u_i)>0, называемое пропускной способностью дуги.

Обычно стараются выбрать размерность c(u_i) так, что c(u_i) - целое. Поток по дуге φ(u_i) -удовлетворяет условию 0≤φ(u_i)≤c(u_i), φ(u_i) – показывает количество вещества, проходящее по дуге, c(u_i) - максимальное количество вещества, которое может пропустить дуга. Если φ(u_i)=c(u_i), - дуга насыщена (пропускает максимум, что может). Поток транспортной сети

, u_i – инцидентный x₀, u_j – инцидентны z₀.

Иногда дуге соотносится величина d(u_i) – стоимость единичного потока.

Решаются обычно две задачи:

1. По критерию максимального потока: Найти наибольший поток, который может пропустить транспортная сеть – φ(u_i) (при этом определяется также какой поток идет по каждой дуге φ(u_i)).

2. По критерию стоимости: По заданному потоку φ<φ⁰ необходимо найти такое распределение потока по дугам φ(u_i), что бы стоимость прохождения потока в сети была минимальной: .

1