II. Характеристики ориентированного графа

Итак, ориентированный граф - граф, состоящий из вершин и дуг, то есть направленных отрезков, соединяющих две вершины.

Д уга u = (а,b)

Маршрут – последовательность дуг, в которой конец каждой дуги совпадает с началом следующей дуги, то есть маршрут μ = (u₁,u₂,…u_n) = (а₀,a₁…а_n), где u₁=(а₀а₁), и₂=(а₁а₂)...

Путь – маршрут, в котором никакая дуга не встречается дважды. Если существует путь из вершины х в вершину у, то говорят, что вершина у достижима из х.

Простой путь - путь, в котором никакая вершина не встречается дважды.

Длина пути: существует два подхода.

1. Считается, что длина любой дуги равна единице (единичные дуги). Тогда длина пути равна числу дуг, составляющих путь. (В повседневной жизни иногда длина пути меряется числом трамвайных остановок или числом дневных переходов и т.д.).

2. Каждой дуге приписывается число e(и_i) - длина дуги. (Это может быть расстоянием, временем проезда из точки в точку, стоимостью проезда и т.д.). Тогда длина пути

Замкнутый маршрут – маршрут, у которого начальная и конечная вершины совпадают.

Контур – замкнутый маршрут, в котором никакая дуга не встречается дважды, то есть путь, в котором начальная и конечная вершины совпадают.

Простой контур – контур, у которой все вершины различные (за исключением конечной и начальной, которые считаются одной вершиной). Вместо введенных определений возможны и другие подходы:

Введенные определения	Допустимые определения
маршрут	маршрут	путь
путь	маршрут	простой путь
простой путь	путь	элементарный путь
замкнутый маршрут	замкнутый маршрут	контур
контур	замкнутый маршрут	простой контур
простой контур	контур	элементарный контур

Элементарный контур еще можно определить как контур, не содержащий внутри себя других дуг и вершин. Частный случай контура - петля («контур единичной длины»), хотя часто петля контуром не считается.

Две вершины называются смежными, если существует дуга, соединяющей эти вершины.

Дугу называют инцидентной вершине, если она заходит в эту вершину или исходит из неё.

Способы задания ориентированного графа.

Пусть имеется граф, содержащий п вершин и т дуг.

1. Список дуг. Указываются: дуга, начальная вершина, конечная вершина.

2. Матрицей смежности графа называется квадратная матрица

R = [r_ij] порядка n n, где

3. Матрицей инцидентности графа (или матрицей инциденций для дуг графа) называется матрица S = [s_ij] порядка п т,

где

Пример.

Граф

Список дуг

дуга	нач. верш	кон. верш
1	1	2
2	2	3
3	3	2
4	1	3

Матрица инцидентности
Вершины	Дуги
	j i	1	2	3	4
	1	1	0	0	1
	2	-1	1	-1	0
	3	0	-1	1	-1

Матрица смежности

Начальные вершины	Конечные вершины
	j i	1	2	3
	1	0	1	1
	2	0	0	1
	3	0	1	0

Если есть петли, то в списке дуг начальная и конечная вершины совпадают. В матрице смежности 1 ставится в главной диагонали, а в матрицу инцидентности вводят дополнительное условие: если петля номер j исходит и входит в вершину i то s_ij равна любому числу (например 2), но не 0 и ±1.

Е сли к имеющемуся графу дорисовать дугу 5 в виде петли вершины 3, то в списке дуг появится строка 5 3 3, матрица смежности примет вид:

	1	2	3
1	0	1	1
2	0	0	1
3	0	1	1

а в матрице инцидентности появится еще один столбец

И ногда для графа с петлями матрицу инцидентности расчленяют на две: положительную и отрицательную. Еще один пример.

Д уги называются кратными, если выходят из одной вершины и входят в одну и ту же вершину