Связанность графа

Две вершины связаны, если существует маршрут, соединяющие эти вершины. Граф связан (связанный), если любые его две вершины можно соединить маршрутом.

Если граф не связан, его можно разбить на подграфы, называемые компонентами связанности такие, что все вершины в подграфе связанны, а вершины различных подграфов не связанны. Из несвязанного графа можно сделать связанным, если добавить ребро, называемого мостом, или удалить уединенные вершины.

Понятие связанности относится и к ориентированным графам – при этом не обращают внимание на направление дуг. Ориентированный граф сильно связанный (связен), если для любых двух его вершин существует путь, идущий от одной вершины к другой.

сильно связанный

не сильно связанный

Эйлеровы графы

Цикл, включающий все ребра графа, называется эйлеровым циклом, а сам граф, в котором существует эйлеровый цикл, – эйлеровым графом (цикл –замкнутый маршрут, в котором 1 ребро встречается только 1 раз).

Эйлеров граф можно изобразить, не отрывая перо от бумаги, причем начальная и конечная точки совпадают. Задача о кенигсбергских мостах.

Можно ли по одному ряду обойти все мосты и вернуться на то же самое место? Нельзя.

С этой задачи традиционно считается начало теории графов, основу которой заложил Эйлер.

Теорема: граф эйлеров тогда и только тогда, когда он связан и степени всех его вершин четные.

Цепь, включающая все ребра и вершины графа, называется эйлеровой (цепь – маршрут, в котором 1 ребро встречается 1 раз). В отличие от эйлерова цикла начальная и конечная вершина не совпадает.

Необходимое и достаточное условие существования в графе эйлеровой цепи: связанность графа и четность степеней всех его вершин, кроме начальной конечной.

Примеры:

Эйлеровы графы

Графы, включающие эйлерoвую цепь, но не цикл

Графы, не содержащие эйлеровых цепей и циклов

Гамильтоновы циклы и цепи

Простой цикл, включающий все вершины графа, называется гамильтоновым (все ребра в цикл могут не входить, главное, чтобы входили все вершины). Напоминание: простой цикл – цикл, в котором 1 вершина входит 1 раз. Граф, в котором имеется гамильтонов цикл, называется гамильтоновым.

Простая цепь, включающая все вершины графа, называется гамильтоновой (простая цепь – цепь, в которой 1 вершина входит 1 раз).

Граф, содержит гамильтонов цикл:

Граф, содержащий гамильтонову цепь, но не цикл:

Граф, не содержащий ни гамильтонову цепь, ни цикл:

Задача о лабиринте: Необходимое и достаточное условие выхода из лабиринта – чтобы граф был связанный, или что бы начальное и конечное положение принадлежали одной компоненте связанности. Для оптимального выхода из лабиринта необходимо двигаться по гамильтоновой цепи.

Цикломатическое число

Цикломатическим числом неориентированного графа G называется число v(G)=m–n+r, где m – число ребер, n – число вершин, r – число компонент связности. v(G) – показывает число независимых циклов (независимых контуров в электрической схеме), то есть минимальное число циклов, в которое входят все ребра.

Пример из электротехники.

т=3, п=2, r=1, v(G)=2, можно построить 2 независимых цикла, то есть достаточно двух циклов, что бы в эти циклы вошли все ребра.